Corrections 395
moment nul par rapport à Ox et l’action du ressort spiral qui se réduit au couple
#»
Γ de moment par
rapport à l’axe Ox C(α − θ).
2. (S) étant en rotation autour de l’axe (Ox), son moment cinétique par rapport à (Ox) s’écrit donc
LOx = #» ux · (m
# »
OG ∧ #» v ) avec la vitesse du ballon #» v = ˙
θ #» ux ∧
# »
OG, soit LOx = ma
2 ˙
θ. La loi du moment
cinétique appliquée à l’ensemble (S) par rapport à (Ox) amène à : ma
2 ¨
θ = −mga cos(θ) + C(α − θ).
3. ma
2 ¨
θ ˙
θ = −mga cos(θ) ˙
θ + C(α − θ) ˙
θ.
ma
2 ¨
θ ˙
θ correspond à la puissance cinétique, −mga cos(θ) ˙
θ < 0 à la puissance du poids, qui est résistante,
C(α−θ) ˙
θ > 0 à la puissance du ressort spirale, motrice. Si on veut que le ballon se mette en mouvement,
il faut que la puissance motrice soit supérieure à la puissance résistante.
4. En intégrant la relation de la question 3., il vient
1
2
ma
2 ˙
θ
2 +
1
2
C(α − θ)
2 + mga sin(θ) = cste où la
constante est donnée par cste =
1
2
C(α − θ0)
2 + mga sin(θ0) (conditions initiales).
Pour θ f = α, on aboutit à
1
2
ma
2 ˙
θ f
2 =
1
2
C(α − θ0)
2 + mga(sin(θ0) − sin(α)), et la vitesse de la balle
lorsqu’elle quitte le lanceur est v f = a ˙
θ f .
On obtient : v f =
2
m
1
2
C(α − θ0) 2 + mga(sin(θ0) − sin(α))
= 81 cm · s
−1 . Le panier ne sera donc
pas atteint.
Exercice 14.8
1. Lors de la première phase, la pelle est soumise à son poids
#»
P , se décomposant en le poids de la plaque
#»
P p = −mpg #» uy en Gp et le poids du manche
#»
P m = −mmg #» uy en Gm, la réaction du sol
#»
R en O et la
force
#»
F = −F #» uy exercée par la bête en A.
Avec la méthode du bras de levier, le moment de
#»
P m par rapport à (Oz) est MOz(
#»
P m) = −mmga cos(θ),
le moment de
#»
P p par rapport à (Oz) MOz(
#»
P p) = mpgb cos(α − θ), le moment de
#»
F par rapport à (Oz)
MOz(
#»
F ) = F l cos(α − θ), le moment de la réaction du sol par rapport à (Oz) nul.
Le moment total des forces par rapport à Oz est ainsi Mtot,Oz = −mmga cos(θ)+(mpgb+F l) cos(α−θ).
2. La pelle étant en rotation autour de l’axe (Oz), son moment cinétique par rapport à cet axe est J1 ˙
θ.
L’application de la loi du moment cinétique à la pelle par rapport à (Oz) conduit à :
J1 ¨
θ = −mmga cos(θ) + (F l + mpgb) cos(α − θ).
3. Multiplions cette équation par ˙
θ : J1 ¨
θ ˙
θ = −mmga cos(θ) ˙
θ + (F l + mpgb) cos(α − θ) ˙
θ. En intégrant cette
relation et en prenant en compte les conditions initiales ( ˙
θ(0) = 0 et θ(0) = 0), il vient :
1
2
J1 ˙
θ
2 + mmga sin(θ) + (F l + mpgb)(sin(α − θ) − sin(α)) = 0 ce qui est une intégrale première du
mouvement.
4. La première phase se termine lorsque θ = α, soit ˙
θ0 =
2
J1
(−mmga + F l + mpgb) sin(α).
5. Dans la deuxième phase, la pelle n’est plus soumise qu’au poids, conservatif, dont l’énergie potentielle
résultante est Ep = mpgyG p + mmgyG m = mpgb sin(β) + mmg(l sin(β) + a sin(β + α)), et à la réaction
du sol en A qui ne travaille pas car A est fixe. Elle est en rotation autour de l’axe Az et son énergie
cinétique vaut
1
2
J2 ˙
β
2 . Le système étant conservatif, l’énergie mécanique se conserve :
1
2
J2 ˙
β
2 + mmg(l sin(β) + a sin(β + α)) + mpgb sin(β) =
1
2
J2 ˙
θ0
2 + mmga sin(α) par prise en compte des
conditions initiales β(0) = 0 et ˙
β(0) = ˙
θ0.
6. De l’équation ci-dessus, on extrait ˙
β
2 = ˙
θ0
2 +
2
J2
g[mma(sin(α) − sin(α + β)) − (mml + mpb) sin(β)].
L’application numérique conduit à une vitesse angulaire finale ˙
β f = 13 rad · s
−1 , soit à une vitesse pour
E au moment de l’impact avec le nez de la bête : VE = D ˙
θ = 23 m · s
−1 ce qui est environ 80 km · h
−1 .
On comprend que la bête puisse être assommée !
© Dunod. Toute reproduction non autorisée est un délit.
partagelivrescpge.blogspot.com
moment nul par rapport à Ox et l’action du ressort spiral qui se réduit au couple
#»
Γ de moment par
rapport à l’axe Ox C(α − θ).
2. (S) étant en rotation autour de l’axe (Ox), son moment cinétique par rapport à (Ox) s’écrit donc
LOx = #» ux · (m
# »
OG ∧ #» v ) avec la vitesse du ballon #» v = ˙
θ #» ux ∧
# »
OG, soit LOx = ma
2 ˙
θ. La loi du moment
cinétique appliquée à l’ensemble (S) par rapport à (Ox) amène à : ma
2 ¨
θ = −mga cos(θ) + C(α − θ).
3. ma
2 ¨
θ ˙
θ = −mga cos(θ) ˙
θ + C(α − θ) ˙
θ.
ma
2 ¨
θ ˙
θ correspond à la puissance cinétique, −mga cos(θ) ˙
θ < 0 à la puissance du poids, qui est résistante,
C(α−θ) ˙
θ > 0 à la puissance du ressort spirale, motrice. Si on veut que le ballon se mette en mouvement,
il faut que la puissance motrice soit supérieure à la puissance résistante.
4. En intégrant la relation de la question 3., il vient
1
2
ma
2 ˙
θ
2 +
1
2
C(α − θ)
2 + mga sin(θ) = cste où la
constante est donnée par cste =
1
2
C(α − θ0)
2 + mga sin(θ0) (conditions initiales).
Pour θ f = α, on aboutit à
1
2
ma
2 ˙
θ f
2 =
1
2
C(α − θ0)
2 + mga(sin(θ0) − sin(α)), et la vitesse de la balle
lorsqu’elle quitte le lanceur est v f = a ˙
θ f .
On obtient : v f =
2
m
1
2
C(α − θ0) 2 + mga(sin(θ0) − sin(α))
= 81 cm · s
−1 . Le panier ne sera donc
pas atteint.
Exercice 14.8
1. Lors de la première phase, la pelle est soumise à son poids
#»
P , se décomposant en le poids de la plaque
#»
P p = −mpg #» uy en Gp et le poids du manche
#»
P m = −mmg #» uy en Gm, la réaction du sol
#»
R en O et la
force
#»
F = −F #» uy exercée par la bête en A.
Avec la méthode du bras de levier, le moment de
#»
P m par rapport à (Oz) est MOz(
#»
P m) = −mmga cos(θ),
le moment de
#»
P p par rapport à (Oz) MOz(
#»
P p) = mpgb cos(α − θ), le moment de
#»
F par rapport à (Oz)
MOz(
#»
F ) = F l cos(α − θ), le moment de la réaction du sol par rapport à (Oz) nul.
Le moment total des forces par rapport à Oz est ainsi Mtot,Oz = −mmga cos(θ)+(mpgb+F l) cos(α−θ).
2. La pelle étant en rotation autour de l’axe (Oz), son moment cinétique par rapport à cet axe est J1 ˙
θ.
L’application de la loi du moment cinétique à la pelle par rapport à (Oz) conduit à :
J1 ¨
θ = −mmga cos(θ) + (F l + mpgb) cos(α − θ).
3. Multiplions cette équation par ˙
θ : J1 ¨
θ ˙
θ = −mmga cos(θ) ˙
θ + (F l + mpgb) cos(α − θ) ˙
θ. En intégrant cette
relation et en prenant en compte les conditions initiales ( ˙
θ(0) = 0 et θ(0) = 0), il vient :
1
2
J1 ˙
θ
2 + mmga sin(θ) + (F l + mpgb)(sin(α − θ) − sin(α)) = 0 ce qui est une intégrale première du
mouvement.
4. La première phase se termine lorsque θ = α, soit ˙
θ0 =
2
J1
(−mmga + F l + mpgb) sin(α).
5. Dans la deuxième phase, la pelle n’est plus soumise qu’au poids, conservatif, dont l’énergie potentielle
résultante est Ep = mpgyG p + mmgyG m = mpgb sin(β) + mmg(l sin(β) + a sin(β + α)), et à la réaction
du sol en A qui ne travaille pas car A est fixe. Elle est en rotation autour de l’axe Az et son énergie
cinétique vaut
1
2
J2 ˙
β
2 . Le système étant conservatif, l’énergie mécanique se conserve :
1
2
J2 ˙
β
2 + mmg(l sin(β) + a sin(β + α)) + mpgb sin(β) =
1
2
J2 ˙
θ0
2 + mmga sin(α) par prise en compte des
conditions initiales β(0) = 0 et ˙
β(0) = ˙
θ0.
6. De l’équation ci-dessus, on extrait ˙
β
2 = ˙
θ0
2 +
2
J2
g[mma(sin(α) − sin(α + β)) − (mml + mpb) sin(β)].
L’application numérique conduit à une vitesse angulaire finale ˙
β f = 13 rad · s
−1 , soit à une vitesse pour
E au moment de l’impact avec le nez de la bête : VE = D ˙
θ = 23 m · s
−1 ce qui est environ 80 km · h
−1 .
On comprend que la bête puisse être assommée !
© Dunod. Toute reproduction non autorisée est un délit.
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