392 Chapitre 14
Loi du moment cinétique
Corrections
Interro de cours
1.
# »
OM ∧
#»
F représente le moment en O d’une force, à ne pas confondre avec le moment cinétique en O
d’un point matériel M défini par
# »
OM ∧ m #» v (sans oublier le m) qui est nul si
# »
OM et #» v sont colinéaires.
Réponse (c).
2. M Δ = ±d
#»
F où d le bras de levier . Ainsi [M Δ ] = [L].[F ] = [W ]. Le moment d’une force a donc
la dimension d’un travail. Par contre, c’est le travail de la force et non son moment qui permet de
caractériser l’effet de celle-ci sur la valeur de la vitesse du point. Enfin le moment de la force par
rapport à l’axe est proportionnel à son bras de levier. Réponse (a).
3. La règle de la main droite donne : M Δ < 0 pour le premier schéma (pouce selon − #» uz) et M Δ > 0
pour le troisième schéma (pouce selon + #» uz). Pour le deuxième schéma, M Δ = 0. Réponse (a).
4. Le bras de levier d correspond à la distance entre le droite d’action de
#»
F (représentée par des pointillés)
et l’axe Oz. Réponse (c).
5. Le moment d’inertie de ce système par rapport à Δ vaut J Δ = 2mr
2 . Ainsi, il est multiplié par quatre
si r est multiplié par deux. Réponse (c).
6. Le pendule va osciller périodiquement. Le mouvement est dit « pendulaire ». Mais les oscillations ne sont
pas harmoniques car l’approximation des petits angles n’est pas valable et donc l’équation différentielle
du mouvement ne peut pas être approchée par l’équation d’un oscillateur harmonique. Réponse (b).
Exercice 14.1
1. Le disque est soumis : à son poids
#»
P = −mg #» uz en G, à la réaction d’axe parfaite autour de Gx, à
#»
F 1
en A1,
#»
F 2 en A2 et
#»
F 3 en A3.
2. Le moment par rapport à (Gx) de la liaison pivot parfaite est nul. En utilisant la méthode du bras
de levier par rapport à (Gx), il vient MGx(
#»
P ) = 0, de même pour
#»
F 3 dont le prolongement passe
par Gx (longueur du bras de levier nulle). On aboutit par la même méthode à MGx(
#»
F 1) = −F1R
(la longueur du bras de levier est R et
#»
F 1 fait tourner le disque négativement autour de l’axe (Gx))
et MGx(
#»
F 2) = −F2R cos α (la longueur du bras de levier est R cos α et
#»
F 2 fait tourner le disque
négativement autour de l’axe (Gx)).
3. Les seuls moments par rapport à (Gx) non nuls sont négatifs, le disque tournera dans le sens des
aiguilles d’une montre.
Exercice 14.2
1. On considère que l’axe Oz pointe vers nous, et on utilise le système de coordonnées polaires (r, θ) et
la base associée ( #» ur, #» u θ , #» uz) pour repérer la position de M .
M est soumis à son poids, de moment par rapport à (Oz) MOz(
#»
P ) = −mgR sin(θ), à la force électrique
#»
F e = Q
#»
E de moment par rapport à l’axe (Oz) MOz(
#»
F e) = QER cos(θ), et à la tension du fil
#»
T = T #» ur
avec T < 0, de moment nul par rapport à (Oz), les moments étant tous calculés en utilisant la méthode
du bras de levier.
M étant en mouvement de rotation autour de (Oz), sa vitesse est #» v = R ˙
θ #» u θ , et son moment cinétique
par rapport à (Oz) donné par LOz = #» uz · (mR #» ur ∧ R ˙
θ #» u θ ) = mR
2 ˙
θ. L’application de la loi du moment
cinétique par rapport à Oz amène à : mR
2 ¨
θ = QER cos(θ) − mgR sin(θ).
Lorsque le pendule est à l’équilibre, ¨
θ = 0 : tan(θe) =
QE
mg
, et θe = 30°.
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Loi du moment cinétique
Corrections
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1.
# »
OM ∧
#»
F représente le moment en O d’une force, à ne pas confondre avec le moment cinétique en O
d’un point matériel M défini par
# »
OM ∧ m #» v (sans oublier le m) qui est nul si
# »
OM et #» v sont colinéaires.
Réponse (c).
2. M Δ = ±d
#»
F où d le bras de levier . Ainsi [M Δ ] = [L].[F ] = [W ]. Le moment d’une force a donc
la dimension d’un travail. Par contre, c’est le travail de la force et non son moment qui permet de
caractériser l’effet de celle-ci sur la valeur de la vitesse du point. Enfin le moment de la force par
rapport à l’axe est proportionnel à son bras de levier. Réponse (a).
3. La règle de la main droite donne : M Δ < 0 pour le premier schéma (pouce selon − #» uz) et M Δ > 0
pour le troisième schéma (pouce selon + #» uz). Pour le deuxième schéma, M Δ = 0. Réponse (a).
4. Le bras de levier d correspond à la distance entre le droite d’action de
#»
F (représentée par des pointillés)
et l’axe Oz. Réponse (c).
5. Le moment d’inertie de ce système par rapport à Δ vaut J Δ = 2mr
2 . Ainsi, il est multiplié par quatre
si r est multiplié par deux. Réponse (c).
6. Le pendule va osciller périodiquement. Le mouvement est dit « pendulaire ». Mais les oscillations ne sont
pas harmoniques car l’approximation des petits angles n’est pas valable et donc l’équation différentielle
du mouvement ne peut pas être approchée par l’équation d’un oscillateur harmonique. Réponse (b).
Exercice 14.1
1. Le disque est soumis : à son poids
#»
P = −mg #» uz en G, à la réaction d’axe parfaite autour de Gx, à
#»
F 1
en A1,
#»
F 2 en A2 et
#»
F 3 en A3.
2. Le moment par rapport à (Gx) de la liaison pivot parfaite est nul. En utilisant la méthode du bras
de levier par rapport à (Gx), il vient MGx(
#»
P ) = 0, de même pour
#»
F 3 dont le prolongement passe
par Gx (longueur du bras de levier nulle). On aboutit par la même méthode à MGx(
#»
F 1) = −F1R
(la longueur du bras de levier est R et
#»
F 1 fait tourner le disque négativement autour de l’axe (Gx))
et MGx(
#»
F 2) = −F2R cos α (la longueur du bras de levier est R cos α et
#»
F 2 fait tourner le disque
négativement autour de l’axe (Gx)).
3. Les seuls moments par rapport à (Gx) non nuls sont négatifs, le disque tournera dans le sens des
aiguilles d’une montre.
Exercice 14.2
1. On considère que l’axe Oz pointe vers nous, et on utilise le système de coordonnées polaires (r, θ) et
la base associée ( #» ur, #» u θ , #» uz) pour repérer la position de M .
M est soumis à son poids, de moment par rapport à (Oz) MOz(
#»
P ) = −mgR sin(θ), à la force électrique
#»
F e = Q
#»
E de moment par rapport à l’axe (Oz) MOz(
#»
F e) = QER cos(θ), et à la tension du fil
#»
T = T #» ur
avec T < 0, de moment nul par rapport à (Oz), les moments étant tous calculés en utilisant la méthode
du bras de levier.
M étant en mouvement de rotation autour de (Oz), sa vitesse est #» v = R ˙
θ #» u θ , et son moment cinétique
par rapport à (Oz) donné par LOz = #» uz · (mR #» ur ∧ R ˙
θ #» u θ ) = mR
2 ˙
θ. L’application de la loi du moment
cinétique par rapport à Oz amène à : mR
2 ¨
θ = QER cos(θ) − mgR sin(θ).
Lorsque le pendule est à l’équilibre, ¨
θ = 0 : tan(θe) =
QE
mg
, et θe = 30°.
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