Corrections 393
Notons qu’ici, la force électrique n’est pas négligeable par rapport au poids car il ne s’agit pas d’une
particule mais d’un objet macroscopique.
2. Linéarisons l’équation du mouvement au voisinage de la position d’équilibre, en utilisant les relations
fournies, avec ε = θ − θe : mR ¨
θ = mR¨ ε = QE (cos(θe) − ε(sin θe)) − mg (sin(θe) + ε cos(θe)), soit :
¨
ε +
mg cos(θe) + QE sin(θe)
mR
ε = 0. On reconnaît l’équation d’un oscillateur harmonique, de pulsation :
ω0 =
mg cos(θe) + QE sin(θe)
mR
. L’application numérique donne ω0 = 11 rad · s
−1 et T0 =
2π
ω0
= 0,59 s.
Exercice 14.3
1. Le mur est soumis à : son poids
#»
P = −mg #» uz en G, la force
#»
F exercée par la grue en A, et la réaction
#»
R
au niveau du bas du mur en O.
2. En utilisant la méthode du bras de levier, le moment de la réaction par rapport à (Oy) est nul, le
moment du poids par rapport à (Oy) s’écrit MOy(
#»
P ) = −mga cos(θ), et le moment de
#»
F par rapport
à (Oy) s’écrit MOy(
#»
F ) = HF cos(θ).
Le mur étant en rotation autour de l’axe (Oy) à la vitesse angulaire ˙
θ, son moment cinétique par
rapport à (Oy) est LOy = J ˙
θ. La loi du moment cinétique appliquée au mur par rapport à l’axe Oy
s’écrit : J ¨
θ = F H cos(θ) − mga cos(θ), d’où : ¨
θ =
F H − mga
J
cos(θ).
3. Si ω0 = ˙
θ = 0,20 rad · s
−1 , alors ¨
θ = 0, d’où F =
mga
H
= 2,0 · 10
4 N.
4. La puissance de
#»
F dans le référentiel du laboratoire s’écrit P R =
#»
F · #» v A = F H ˙
θ cos(θ) = F H
d sin(θ)
dt
d’où le travail effectué par la grue pour dresser le mur à la verticale :
W =
π/2
0
F Hd(sin(θ)) = F H = mga = 5,9 · 10
4 J.
Exercice 14.4
1. Nous identifions facilement la trajectoire de phase (2) comme correspondant à la courbe (c) car c’est
la seule trajectoire sur laquelle la vitesse angulaire ˙
θ ne s’annule jamais. Cette trajectoire correspond
ainsi à un mouvement révolutif.
Comme θ3 > θ1, nous pouvons identifier la trajectoire de phase (3) avec la courbe (b) et la trajectoire
de phase (1) avec la courbe (a). Ces deux trajectoires correspondent à un mouvement pendulaire.
En utilisant les graphes, on obtient ˙
θ2 = 10 rad · s
−1 , θ1 = 0,17 rad et θ3 = 2,0 rad.
2. La trajectoire (a) correspond à un mouvement isochrone car sa trajectoire de phase est quasi-elliptique
et θ1 1. D’après les conditions initiales, la loi horaire correspondante est θ1(t) = θ1 cos(ω1t) d’où
˙
θ1(t) = −θ1ω1 sin(ω1t). On voit ainsi que ˙
θ1,max = θ1ω1. On détermine alors ˙
θ1,max ≈ 1,0 rad · s
−1 par
lecture graphique, on en déduit ainsi ω1 =
2π
T1
≈ 5,9 rad · s
−1 , soit T1 ≈ 1,1 s.
3. La courbe (d) tracé en pointillés s’appelle la courbe séparatrice ; elle correspond à des trajectoires de
phases qui aboutissent à vitesse nulle au niveau des points d’équilibre instable θ = ±π. Elle sépare les
trajectoires révolutives des trajectoires pendulaires.
© Dunod. Toute reproduction non autorisée est un délit.
partagelivrescpge.blogspot.com
Notons qu’ici, la force électrique n’est pas négligeable par rapport au poids car il ne s’agit pas d’une
particule mais d’un objet macroscopique.
2. Linéarisons l’équation du mouvement au voisinage de la position d’équilibre, en utilisant les relations
fournies, avec ε = θ − θe : mR ¨
θ = mR¨ ε = QE (cos(θe) − ε(sin θe)) − mg (sin(θe) + ε cos(θe)), soit :
¨
ε +
mg cos(θe) + QE sin(θe)
mR
ε = 0. On reconnaît l’équation d’un oscillateur harmonique, de pulsation :
ω0 =
mg cos(θe) + QE sin(θe)
mR
. L’application numérique donne ω0 = 11 rad · s
−1 et T0 =
2π
ω0
= 0,59 s.
Exercice 14.3
1. Le mur est soumis à : son poids
#»
P = −mg #» uz en G, la force
#»
F exercée par la grue en A, et la réaction
#»
R
au niveau du bas du mur en O.
2. En utilisant la méthode du bras de levier, le moment de la réaction par rapport à (Oy) est nul, le
moment du poids par rapport à (Oy) s’écrit MOy(
#»
P ) = −mga cos(θ), et le moment de
#»
F par rapport
à (Oy) s’écrit MOy(
#»
F ) = HF cos(θ).
Le mur étant en rotation autour de l’axe (Oy) à la vitesse angulaire ˙
θ, son moment cinétique par
rapport à (Oy) est LOy = J ˙
θ. La loi du moment cinétique appliquée au mur par rapport à l’axe Oy
s’écrit : J ¨
θ = F H cos(θ) − mga cos(θ), d’où : ¨
θ =
F H − mga
J
cos(θ).
3. Si ω0 = ˙
θ = 0,20 rad · s
−1 , alors ¨
θ = 0, d’où F =
mga
H
= 2,0 · 10
4 N.
4. La puissance de
#»
F dans le référentiel du laboratoire s’écrit P R =
#»
F · #» v A = F H ˙
θ cos(θ) = F H
d sin(θ)
dt
d’où le travail effectué par la grue pour dresser le mur à la verticale :
W =
π/2
0
F Hd(sin(θ)) = F H = mga = 5,9 · 10
4 J.
Exercice 14.4
1. Nous identifions facilement la trajectoire de phase (2) comme correspondant à la courbe (c) car c’est
la seule trajectoire sur laquelle la vitesse angulaire ˙
θ ne s’annule jamais. Cette trajectoire correspond
ainsi à un mouvement révolutif.
Comme θ3 > θ1, nous pouvons identifier la trajectoire de phase (3) avec la courbe (b) et la trajectoire
de phase (1) avec la courbe (a). Ces deux trajectoires correspondent à un mouvement pendulaire.
En utilisant les graphes, on obtient ˙
θ2 = 10 rad · s
−1 , θ1 = 0,17 rad et θ3 = 2,0 rad.
2. La trajectoire (a) correspond à un mouvement isochrone car sa trajectoire de phase est quasi-elliptique
et θ1 1. D’après les conditions initiales, la loi horaire correspondante est θ1(t) = θ1 cos(ω1t) d’où
˙
θ1(t) = −θ1ω1 sin(ω1t). On voit ainsi que ˙
θ1,max = θ1ω1. On détermine alors ˙
θ1,max ≈ 1,0 rad · s
−1 par
lecture graphique, on en déduit ainsi ω1 =
2π
T1
≈ 5,9 rad · s
−1 , soit T1 ≈ 1,1 s.
3. La courbe (d) tracé en pointillés s’appelle la courbe séparatrice ; elle correspond à des trajectoires de
phases qui aboutissent à vitesse nulle au niveau des points d’équilibre instable θ = ±π. Elle sépare les
trajectoires révolutives des trajectoires pendulaires.
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