380 Chapitre 14
Loi du moment cinétique
Comment justifier théoriquement ces observations ?
Pour répondre à cette question, appliquons au pendule pesant la loi du moment cinétique par
rapport à l’axe fixe (Oz) dans le référentiel R galiléen. La liaison pivot étant supposée parfaite,
le seul moment par rapport à l’axe non nul est celui du poids
#»
P appliqué en G. Le théorème du
moment cinétique conduit alors à : J z ¨
θ = −mgd où d est le bras de levier du poids et J z le moment
d’inertie du pendule par rapport à l’axe (Oz). D’où :
J z ¨
θ = −mgL sin(θ) =⇒ ¨
θ + ω
2
0 sin(θ) = 0 avec ω 0 =
mgL
J z
(14.6)
Si on se limite aux oscillations de faible amplitude : sin(θ) ∼ θ et l’équation du mouvement devient :
¨
θ + ω
2
0 θ = 0
(14.7)
On reconnaît l’équation d’un oscillateur harmonique de pulsation ω 0 et de période T = 2π
J z
mgL
,
ce qui justifie le comportement harmonique du pendule pour les faibles amplitudes.
En négligeant la masse du bras on peut considérer que J z = mL
2 . On en déduit T = 2π
L
g
. Avec
g = 9,81 m/s
2 et L = 39,0 cm on obtient T = 1,25 s, ce qui est en parfait accord avec l’expérience.
Dans l’hypothèse des petites oscillations, on peut déterminer l’intégrale première du mouvement
en multipliant l’équation (14.7) du mouvement par ˙
θ puis en intégrant l’expression obtenue par
rapport au temps :
¨
θ ˙
θ + ω
2
0 θ ˙
θ = 0
1
2
˙
θ
2 +
1
2
ω
2
0 θ
2
= cste
(14.8)
Pour des oscillations de plus grande amplitude, l’intégrale première du mouvement s’obtient par
la même méthode à partir de l’équation (14.6) :
¨
θ ˙
θ + ω
2
0 sin(θ) ˙
θ = 0
1
2
˙
θ
2
− ω
2
0 cos(θ) = cste
(14.9)
L’intégrale première du mouvement permet de déterminer ˙
θ en fonction de θ et des conditions
initiales et ainsi de tracer le portrait de phase théorique du pendule pour différentes conditions
initiales. C’est ce que nous avons fait pour un angle initial multiple de 2π et des vitesses initiales
régulièrement espacées. Les résultats sont présentés figure 14.19.
Nous observons 3 types de trajectoires de phase.
• Des trajectoires fermées autour de θ = 0 [2π] qui correspondent à des oscillations autour
de la position d’équilibre stable. Les mouvements sont qualifiés de pendulaires. Pour de
faibles amplitudes ils sont sinusoïdaux et les trajectoires de phase sont des ellipses (équation
14.8). Pour des amplitudes plus grandes ils ne le sont plus et les trajectoires de phase se
déforment du fait de la présence d’harmoniques dans le spectre de θ(t).
• Les trajectoires ouvertes pour lesquelles la vitesse ˙
θ ne s’annule jamais et qui correspondent
aux mouvements de révolution du pendule lors desquels il tourne sans s’arrêter autour de
l’axe (Oz). Ces mouvements sont qualifiés de révolutifs.
partagelivrescpge.blogspot.com
Loi du moment cinétique
Comment justifier théoriquement ces observations ?
Pour répondre à cette question, appliquons au pendule pesant la loi du moment cinétique par
rapport à l’axe fixe (Oz) dans le référentiel R galiléen. La liaison pivot étant supposée parfaite,
le seul moment par rapport à l’axe non nul est celui du poids
#»
P appliqué en G. Le théorème du
moment cinétique conduit alors à : J z ¨
θ = −mgd où d est le bras de levier du poids et J z le moment
d’inertie du pendule par rapport à l’axe (Oz). D’où :
J z ¨
θ = −mgL sin(θ) =⇒ ¨
θ + ω
2
0 sin(θ) = 0 avec ω 0 =
mgL
J z
(14.6)
Si on se limite aux oscillations de faible amplitude : sin(θ) ∼ θ et l’équation du mouvement devient :
¨
θ + ω
2
0 θ = 0
(14.7)
On reconnaît l’équation d’un oscillateur harmonique de pulsation ω 0 et de période T = 2π
J z
mgL
,
ce qui justifie le comportement harmonique du pendule pour les faibles amplitudes.
En négligeant la masse du bras on peut considérer que J z = mL
2 . On en déduit T = 2π
L
g
. Avec
g = 9,81 m/s
2 et L = 39,0 cm on obtient T = 1,25 s, ce qui est en parfait accord avec l’expérience.
Dans l’hypothèse des petites oscillations, on peut déterminer l’intégrale première du mouvement
en multipliant l’équation (14.7) du mouvement par ˙
θ puis en intégrant l’expression obtenue par
rapport au temps :
¨
θ ˙
θ + ω
2
0 θ ˙
θ = 0
1
2
˙
θ
2 +
1
2
ω
2
0 θ
2
= cste
(14.8)
Pour des oscillations de plus grande amplitude, l’intégrale première du mouvement s’obtient par
la même méthode à partir de l’équation (14.6) :
¨
θ ˙
θ + ω
2
0 sin(θ) ˙
θ = 0
1
2
˙
θ
2
− ω
2
0 cos(θ) = cste
(14.9)
L’intégrale première du mouvement permet de déterminer ˙
θ en fonction de θ et des conditions
initiales et ainsi de tracer le portrait de phase théorique du pendule pour différentes conditions
initiales. C’est ce que nous avons fait pour un angle initial multiple de 2π et des vitesses initiales
régulièrement espacées. Les résultats sont présentés figure 14.19.
Nous observons 3 types de trajectoires de phase.
• Des trajectoires fermées autour de θ = 0 [2π] qui correspondent à des oscillations autour
de la position d’équilibre stable. Les mouvements sont qualifiés de pendulaires. Pour de
faibles amplitudes ils sont sinusoïdaux et les trajectoires de phase sont des ellipses (équation
14.8). Pour des amplitudes plus grandes ils ne le sont plus et les trajectoires de phase se
déforment du fait de la présence d’harmoniques dans le spectre de θ(t).
• Les trajectoires ouvertes pour lesquelles la vitesse ˙
θ ne s’annule jamais et qui correspondent
aux mouvements de révolution du pendule lors desquels il tourne sans s’arrêter autour de
l’axe (Oz). Ces mouvements sont qualifiés de révolutifs.
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