378 Chapitre 14
Loi du moment cinétique
La loi du moment cinétique par rapport un axe fixe orienté permet d’établir l’équation du
mouvement d’un solide en rotation autour d’un tel axe, dans un référentiel galiléen.
• Définir le système de coordonnées cylindriques adapté au problème et orienter l’axe.
• Faire un bilan des forces extérieures et calculer leurs moments par rapport à l’axe fixe
à l’aide de la notion de bras de levier.
• Calculer le moment cinétique du solide par rapport à l’axe fixe en utilisant son moment
d’inertie par rapport à cet axe et calculer sa dérivée.
• Déterminer l’équation scalaire du mouvement à l’aide de la loi du moment cinétique.
Méthode 14.3 : Utiliser la loi du moment cinétique pour un solide en rotation
autour d’un axe fixe
Exercice (14.3)
6 Le pendule pesant
Un pendule pesant est un solide de masse m mobile autour d’un axe fixe horizontal ne passant pas
par son centre de masse G.
Le pendule que nous avons étudié expérimentalement était
constitué d’un bras léger en aluminium sur lequel était
emmanché un bloc lourd. La distance L entre le centre
de masse G de ce bloc et l’axe de rotation était modifiable. Pour nos expériences, nous avons adopté la valeur
L = OG = 39,0 cm. La liaison pivot entre l’axe et le pendule
comportant deux roulements à billes, nous n’avons observé
que de très faibles amortissements. Cela nous a conduit
dans notre modélisation à considérer la liaison pivot comme
parfaite.
Nous avons réalisé des enregistrements vidéo d’une trentaine de périodes, pour des conditions initiales différentes.
Après extraction de la position de G, nous en avons déduit
l’angle θ entre le bras et la verticale au cours du temps.
G
L
#» g
#» u z
d
#»
P
θ
Figure 14.14. Pendule pesant.
Sur les figures 14.15 à 14.18 ci-dessous, nous avons représenté θ en fonction du temps ainsi que le
spectre en décibel, calculé sur une trentaine de périodes. La période d’oscillation T est déterminée
à partir de l’analyse spectrale sur θ.
Quels commentaires pouvons-nous faire sur ces graphes ?
Pour commencer, l’allure de l’angle θ en fonction du temps semble sinusoïdale. Mais pour une
analyse plus fine il faut examiner les spectres en fréquence. Nous pouvons alors remarquer qu’il
existe, hormis pour l’expérience 1, des harmoniques de rang 2 et 3 de plus en plus importants à
mesure que l’amplitude des oscillations augmente.
De plus, en comparant les différentes périodes, nous remarquons que dans l’ordre croissant des
amplitudes des oscillations : T 1 = T 2 = 1,25 s ; T 3 = 1,27 s et T 4 = 1,31 s.
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Loi du moment cinétique
La loi du moment cinétique par rapport un axe fixe orienté permet d’établir l’équation du
mouvement d’un solide en rotation autour d’un tel axe, dans un référentiel galiléen.
• Définir le système de coordonnées cylindriques adapté au problème et orienter l’axe.
• Faire un bilan des forces extérieures et calculer leurs moments par rapport à l’axe fixe
à l’aide de la notion de bras de levier.
• Calculer le moment cinétique du solide par rapport à l’axe fixe en utilisant son moment
d’inertie par rapport à cet axe et calculer sa dérivée.
• Déterminer l’équation scalaire du mouvement à l’aide de la loi du moment cinétique.
Méthode 14.3 : Utiliser la loi du moment cinétique pour un solide en rotation
autour d’un axe fixe
Exercice (14.3)
6 Le pendule pesant
Un pendule pesant est un solide de masse m mobile autour d’un axe fixe horizontal ne passant pas
par son centre de masse G.
Le pendule que nous avons étudié expérimentalement était
constitué d’un bras léger en aluminium sur lequel était
emmanché un bloc lourd. La distance L entre le centre
de masse G de ce bloc et l’axe de rotation était modifiable. Pour nos expériences, nous avons adopté la valeur
L = OG = 39,0 cm. La liaison pivot entre l’axe et le pendule
comportant deux roulements à billes, nous n’avons observé
que de très faibles amortissements. Cela nous a conduit
dans notre modélisation à considérer la liaison pivot comme
parfaite.
Nous avons réalisé des enregistrements vidéo d’une trentaine de périodes, pour des conditions initiales différentes.
Après extraction de la position de G, nous en avons déduit
l’angle θ entre le bras et la verticale au cours du temps.
G
L
#» g
#» u z
d
#»
P
θ
Figure 14.14. Pendule pesant.
Sur les figures 14.15 à 14.18 ci-dessous, nous avons représenté θ en fonction du temps ainsi que le
spectre en décibel, calculé sur une trentaine de périodes. La période d’oscillation T est déterminée
à partir de l’analyse spectrale sur θ.
Quels commentaires pouvons-nous faire sur ces graphes ?
Pour commencer, l’allure de l’angle θ en fonction du temps semble sinusoïdale. Mais pour une
analyse plus fine il faut examiner les spectres en fréquence. Nous pouvons alors remarquer qu’il
existe, hormis pour l’expérience 1, des harmoniques de rang 2 et 3 de plus en plus importants à
mesure que l’amplitude des oscillations augmente.
De plus, en comparant les différentes périodes, nous remarquons que dans l’ordre croissant des
amplitudes des oscillations : T 1 = T 2 = 1,25 s ; T 3 = 1,27 s et T 4 = 1,31 s.
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