376 Chapitre 14
Loi du moment cinétique
x
y
O
M
#»
P
d
θ
l
#» u r
#» u θ
#» u z
Figure 14.13. Pendule simple.
Appliquons au point matériel M la loi du moment cinétique par rapport à l’axe fixe (Oz) :
dL z
dt
= M z (
#»
P ) + M z (
#»
T )
La direction de la tension
#»
T interceptant l’axe (Oz), le moment par rapport à l’axe de cette force
est nul. Le poids a un bras de levier égal à d (figure 14.13) et il tend à faire tourner M dans le sens
négatif lorsque θ est positif. On en déduit : M z (
#»
P ) = −mgd = −mgl sin(θ).
Par ailleurs M étant en mouvement circulaire de rayon l autour de l’axe (Oz), son moment cinétique
par rapport à (Oz) vaut, d’après l’équation 14.1 : L z = ml
2 ˙
θ.
D’où : ml
2 ¨
θ = −mgl sin(θ), soit ¨
θ +
g
l
sin(θ) = 0. On retrouve ainsi l’équation du mouvement du
pendule simple.
La recherche de l’équation du mouvement d’un point matériel peut se faire en lui appliquant
la loi du moment cinétique, dans un référentiel galiléen.
• 1
re variante : utiliser la loi du moment cinétique par rapport à un point fixe.
— Choisir un point fixe et un système de coordonnées adaptés au problème.
— Faire un bilan des forces et calculer leurs moments par rapport au point fixe.
— Calculer le moment cinétique de M par rapport au point fixe et calculer sa dérivée.
— Déterminer l’équation vectorielle du mouvement à l’aide de la loi du moment cinétique par rapport à un point fixe.
— Projeter cette équation sur un axe choisi afin d’obtenir l’équation scalaire du mouvement.
• 2
e variante : utiliser la loi du moment cinétique par rapport à un axe fixe.
— Définir le système de coordonnées cylindriques adapté au problème et orienter l’axe.
— Faire un bilan des forces et calculer leurs moments par rapport à l’axe fixe en
utilisant la notion de bras de levier.
— Calculer le moment cinétique de M par rapport à l’axe fixe et calculer sa dérivée.
— Déterminer l’équation scalaire du mouvement à l’aide de la loi du moment cinétique
par rapport à un axe fixe
Méthode 14.2 : Appliquer la loi du moment cinétique à un point matériel
Exercice (14.2)
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Loi du moment cinétique
x
y
O
M
#»
P
d
θ
l
#» u r
#» u θ
#» u z
Figure 14.13. Pendule simple.
Appliquons au point matériel M la loi du moment cinétique par rapport à l’axe fixe (Oz) :
dL z
dt
= M z (
#»
P ) + M z (
#»
T )
La direction de la tension
#»
T interceptant l’axe (Oz), le moment par rapport à l’axe de cette force
est nul. Le poids a un bras de levier égal à d (figure 14.13) et il tend à faire tourner M dans le sens
négatif lorsque θ est positif. On en déduit : M z (
#»
P ) = −mgd = −mgl sin(θ).
Par ailleurs M étant en mouvement circulaire de rayon l autour de l’axe (Oz), son moment cinétique
par rapport à (Oz) vaut, d’après l’équation 14.1 : L z = ml
2 ˙
θ.
D’où : ml
2 ¨
θ = −mgl sin(θ), soit ¨
θ +
g
l
sin(θ) = 0. On retrouve ainsi l’équation du mouvement du
pendule simple.
La recherche de l’équation du mouvement d’un point matériel peut se faire en lui appliquant
la loi du moment cinétique, dans un référentiel galiléen.
• 1
re variante : utiliser la loi du moment cinétique par rapport à un point fixe.
— Choisir un point fixe et un système de coordonnées adaptés au problème.
— Faire un bilan des forces et calculer leurs moments par rapport au point fixe.
— Calculer le moment cinétique de M par rapport au point fixe et calculer sa dérivée.
— Déterminer l’équation vectorielle du mouvement à l’aide de la loi du moment cinétique par rapport à un point fixe.
— Projeter cette équation sur un axe choisi afin d’obtenir l’équation scalaire du mouvement.
• 2
e variante : utiliser la loi du moment cinétique par rapport à un axe fixe.
— Définir le système de coordonnées cylindriques adapté au problème et orienter l’axe.
— Faire un bilan des forces et calculer leurs moments par rapport à l’axe fixe en
utilisant la notion de bras de levier.
— Calculer le moment cinétique de M par rapport à l’axe fixe et calculer sa dérivée.
— Déterminer l’équation scalaire du mouvement à l’aide de la loi du moment cinétique
par rapport à un axe fixe
Méthode 14.2 : Appliquer la loi du moment cinétique à un point matériel
Exercice (14.2)
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