L’essentiel du cours 375
Si les frottements ne sont pas négligeables, le stator exerce, outre les forces radiales précédentes,
des forces tangentielles opposées au vecteur vitesse en chaque point du rotor. Si ces forces sont
uniformément réparties sur la surface de contact,
leur résultante est nulle. Par contre, leur moment résultant en O
ne l’est pas. Le moment
des forces de frottement du stator sur le rotor
constitue alors un couple résistant de moment :
#»
Γ = ±Γ #» u z (le signe ± dépend du sens de rotation du rotor).
#»
F
#»
F
#»
F
#»
F
#» v
#» v
#» v
#» v
O
•
Figure 14.12. Bilan des forces de
frottement.
4 Loi du moment cinétique pour un point matériel
Après avoir dégagé les concepts de moment cinétique et de moment de force, nous pouvons énoncer
la loi du moment cinétique. Commençons par le cas d’un point matériel.
Dans un référentiel galiléen R, la dérivée temporelle du moment cinétique d’un point matériel M calculé en un point fixe O est égale au moment résultant en O des forces appliquées :
d
#»
L O
dt
R
=
i
# »
M O (
#»
F i )
(14.2)
Loi du moment cinétique par rapport à un point fixe pour un point matériel
Dans un référentiel galiléen R, la dérivée temporelle du moment cinétique par rapport à
un axe fixe orienté (Δ) d’un point matériel M est égale au moment résultant par rapport
cet axe des forces appliquées :
dL Δ
dt
=
i
M Δ (
#»
F i )
(14.3)
Loi du moment cinétique par rapport à un axe fixe orienté pour un point matériel
Cette loi du moment cinétique par rapport à un axe fixe orienté (Δ) est obtenue en
réalisant le produit scalaire entre l’équation 14.2 et le vecteur #» u Δ orientant l’axe (Δ),
ce qui revient à projeter
d
#»
L O
dt
R
et
i
# »
M O (
#»
F i ) sur l’axe (Δ).
Illustrons l’application de la loi du moment cinétique en étudiant le mouvement dans le référentiel
terrestre R supposé galiléen d’un pendule simple de masse m et de longueur l lâché sans vitesse
dans le plan vertical (Oxy) lorsque le fil fait un angle θ 0 avec l’axe vertical (Ox).
On utilise la base cylindrique ( #» u r , #» u θ , #» u z ) (figure 14.13).
Le point matériel M de masse m est soumis à son poids
#»
P = mg #» u x et à la tension
#»
T = −T #» u r du
fil. Son mouvement est un mouvement circulaire de rayon l autour de l’axe horizontal (Oz).
© Dunod. Toute reproduction non autorisée est un délit.
partagelivrescpge.blogspot.com
Si les frottements ne sont pas négligeables, le stator exerce, outre les forces radiales précédentes,
des forces tangentielles opposées au vecteur vitesse en chaque point du rotor. Si ces forces sont
uniformément réparties sur la surface de contact,
leur résultante est nulle. Par contre, leur moment résultant en O
ne l’est pas. Le moment
des forces de frottement du stator sur le rotor
constitue alors un couple résistant de moment :
#»
Γ = ±Γ #» u z (le signe ± dépend du sens de rotation du rotor).
#»
F
#»
F
#»
F
#»
F
#» v
#» v
#» v
#» v
O
•
Figure 14.12. Bilan des forces de
frottement.
4 Loi du moment cinétique pour un point matériel
Après avoir dégagé les concepts de moment cinétique et de moment de force, nous pouvons énoncer
la loi du moment cinétique. Commençons par le cas d’un point matériel.
Dans un référentiel galiléen R, la dérivée temporelle du moment cinétique d’un point matériel M calculé en un point fixe O est égale au moment résultant en O des forces appliquées :
d
#»
L O
dt
R
=
i
# »
M O (
#»
F i )
(14.2)
Loi du moment cinétique par rapport à un point fixe pour un point matériel
Dans un référentiel galiléen R, la dérivée temporelle du moment cinétique par rapport à
un axe fixe orienté (Δ) d’un point matériel M est égale au moment résultant par rapport
cet axe des forces appliquées :
dL Δ
dt
=
i
M Δ (
#»
F i )
(14.3)
Loi du moment cinétique par rapport à un axe fixe orienté pour un point matériel
Cette loi du moment cinétique par rapport à un axe fixe orienté (Δ) est obtenue en
réalisant le produit scalaire entre l’équation 14.2 et le vecteur #» u Δ orientant l’axe (Δ),
ce qui revient à projeter
d
#»
L O
dt
R
et
i
# »
M O (
#»
F i ) sur l’axe (Δ).
Illustrons l’application de la loi du moment cinétique en étudiant le mouvement dans le référentiel
terrestre R supposé galiléen d’un pendule simple de masse m et de longueur l lâché sans vitesse
dans le plan vertical (Oxy) lorsque le fil fait un angle θ 0 avec l’axe vertical (Ox).
On utilise la base cylindrique ( #» u r , #» u θ , #» u z ) (figure 14.13).
Le point matériel M de masse m est soumis à son poids
#»
P = mg #» u x et à la tension
#»
T = −T #» u r du
fil. Son mouvement est un mouvement circulaire de rayon l autour de l’axe horizontal (Oz).
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