L’essentiel du cours 371
Le moment résultant d’un système de forces ne s’exprime pas en général en fonction
de la résultante
#»
F =
i
#»
F i de ce système, sauf dans le cas particulier où toutes les
forces sont appliquées en un même point M :
# »
M O =
i
# »
OM ∧
#»
F i
=
# »
OM ∧
i
#»
F i
=
# »
OM ∧
#»
F
Soit (Δ) un axe orienté par le vecteur unitaire #» u Δ et O un point de cet axe. On définit le
moment par rapport à (Δ) de la force
#»
F comme le projeté orthogonal de
# »
M O (
#»
F ) sur (Δ) :
M Δ (
#»
F ) =
# »
M O · #» u Δ
Définition : Moment d’une force par rapport à un axe orienté
Le moment d’une force par rapport à un axe orienté ne dépend pas du point de l’axe
choisi pour le définir.
Le moment d’une force par rapport à un axe orienté est nul lorsque la direction de
cette force est parallèle à l’axe ou lorsqu’elle intercepte l’axe.
On définit le moment par rapport à l’axe orienté (Δ) d’un système de forces
#»
F i appliquées
aux points M i par :
M Δ =
i M Δ (
#»
F i ) =
i
# »
M O (
#»
F i ) · #» u Δ
=
i
# »
M O (
#»
F i )
· #» u Δ
Définition : Moment d’un système de forces par rapport à un axe orienté
Reprenons l’exemple de l’ouverture d’une porte (figure 14.4).
• Les forces
#»
F P 5 et
#»
F 0 qui intuitivement ne permettent pas d’ouvrir la porte, sont des forces
dont les directions interceptent l’axe. Elles ont un moment nul par rapport à cet axe.
• En ce qui concerne les forces
#»
F 1 ,
#»
F 2 et
#»
F P 3 appliquées respectivement aux points M 1 , M 2
et P , elles sont perpendiculaires à l’axe de rotation et leurs moments sont de la forme :
# »
M O (
#»
F i ) =
# »
OM i
#»
F i #» u z . On en déduit que M z (
#»
F 1 ) < M z (
#»
F 2 ) < M z (
#»
F P 3 ). Ainsi, plus
le point d’application de la force
#»
F i est loin de l’axe de rotation, plus son moment est élevé.
• En ce qui concerne les forces
#»
F P 3 et
#»
F P 4 , toutes les 2 appliquées en P , leurs moments
sont de la forme :
# »
M O (
#»
F P i ) =
# »
OP
#»
F P i sin
# »
OP ,
#»
F P i
#» u z . Or
# »
OP ,
#»
F P 3
= π/2 et
# »
OP ,
#»
F P 4
< π/2. Donc M z (
#»
F P 4 ) < M z (
#»
F P 3 ).
Nous en concluons que
#»
F P 3 , qui est intuitivement la force la plus efficace pour ouvrir la porte, est
celle dont le moment par rapport à l’axe de rotation de la porte est le plus grand.
Maintenant que nous avons mis en évidence l’importance de la notion de moment d’une force par
rapport à un axe (Δ) dans l’étude du mouvement d’un système en rotation autour de celui-ci,
voyons comment calculer simplement ce moment.
© Dunod. Toute reproduction non autorisée est un délit.
partagelivrescpge.blogspot.com
Le moment résultant d’un système de forces ne s’exprime pas en général en fonction
de la résultante
#»
F =
i
#»
F i de ce système, sauf dans le cas particulier où toutes les
forces sont appliquées en un même point M :
# »
M O =
i
# »
OM ∧
#»
F i
=
# »
OM ∧
i
#»
F i
=
# »
OM ∧
#»
F
Soit (Δ) un axe orienté par le vecteur unitaire #» u Δ et O un point de cet axe. On définit le
moment par rapport à (Δ) de la force
#»
F comme le projeté orthogonal de
# »
M O (
#»
F ) sur (Δ) :
M Δ (
#»
F ) =
# »
M O · #» u Δ
Définition : Moment d’une force par rapport à un axe orienté
Le moment d’une force par rapport à un axe orienté ne dépend pas du point de l’axe
choisi pour le définir.
Le moment d’une force par rapport à un axe orienté est nul lorsque la direction de
cette force est parallèle à l’axe ou lorsqu’elle intercepte l’axe.
On définit le moment par rapport à l’axe orienté (Δ) d’un système de forces
#»
F i appliquées
aux points M i par :
M Δ =
i M Δ (
#»
F i ) =
i
# »
M O (
#»
F i ) · #» u Δ
=
i
# »
M O (
#»
F i )
· #» u Δ
Définition : Moment d’un système de forces par rapport à un axe orienté
Reprenons l’exemple de l’ouverture d’une porte (figure 14.4).
• Les forces
#»
F P 5 et
#»
F 0 qui intuitivement ne permettent pas d’ouvrir la porte, sont des forces
dont les directions interceptent l’axe. Elles ont un moment nul par rapport à cet axe.
• En ce qui concerne les forces
#»
F 1 ,
#»
F 2 et
#»
F P 3 appliquées respectivement aux points M 1 , M 2
et P , elles sont perpendiculaires à l’axe de rotation et leurs moments sont de la forme :
# »
M O (
#»
F i ) =
# »
OM i
#»
F i #» u z . On en déduit que M z (
#»
F 1 ) < M z (
#»
F 2 ) < M z (
#»
F P 3 ). Ainsi, plus
le point d’application de la force
#»
F i est loin de l’axe de rotation, plus son moment est élevé.
• En ce qui concerne les forces
#»
F P 3 et
#»
F P 4 , toutes les 2 appliquées en P , leurs moments
sont de la forme :
# »
M O (
#»
F P i ) =
# »
OP
#»
F P i sin
# »
OP ,
#»
F P i
#» u z . Or
# »
OP ,
#»
F P 3
= π/2 et
# »
OP ,
#»
F P 4
< π/2. Donc M z (
#»
F P 4 ) < M z (
#»
F P 3 ).
Nous en concluons que
#»
F P 3 , qui est intuitivement la force la plus efficace pour ouvrir la porte, est
celle dont le moment par rapport à l’axe de rotation de la porte est le plus grand.
Maintenant que nous avons mis en évidence l’importance de la notion de moment d’une force par
rapport à un axe (Δ) dans l’étude du mouvement d’un système en rotation autour de celui-ci,
voyons comment calculer simplement ce moment.
© Dunod. Toute reproduction non autorisée est un délit.
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