L’essentiel du cours 369
z
O
• #» v
M
#» u Δ
#»
L z
Figure 14.2. Exemple 1 (Lz > 0).
z
O
•
#» v M
#» u Δ
#»
L z
Figure 14.3. Exemple 2 (Lz < 0).
Quel que soit le mouvement de M , on peut montrer en utilisant les coordonnées cylindriques que son moment cinétique par rapport à l’axe (Oz) est toujours de la forme :
L z = mr
2 ˙
θ (où r est la distance de M à l’axe (Oz)).
Considérons maintenant le cas d’un solide en rotation autour de l’axe fixe (Δ).
Le moment cinétique d’un solide en rotation à la vitesse angulaire ω autour d’un axe fixe (Δ)
orienté par le vecteur unitaire #» u Δ s’écrit :
L Δ = J Δ ω
J Δ est le moment d’inertie du solide par rapport à l’axe (Δ) et se mesure en kg · m
2 .
Définition : Moment cinétique d’un solide en rotation autour d’un axe fixe orienté
• J Δ est toujours positif. Le signe de L Δ , qui est donc le même que celui de ω,
nous renseigne sur le sens de rotation du solide autour de l’axe.
• J Δ ne dépend que de la géométrie du solide et de sa répartition des masses. Plus
les masses sont éloignées de l’axe, plus J Δ est élevé.
Un solide étant modélisé par une distribution continue de matière, le calcul du moment d’inertie
d’un solide par rapport à un axe fait intervenir la notion de somme continue (intégrale triple sur le
volume du solide). Cet aspect dépasse largement le cadre du programme mais nous pouvons citer
quelques expressions de moments d’inertie pour des géométries simples.
• Cylindre creux de masse m, de rayon R et d’axe Δ : J Δ = mR
2 .
• Cylindre plein de masse m, de rayon R et d’axe Δ : J Δ = (1/2)mR
2 .
(remarque : la masse du cylindre plein étant globalement plus proche de l’axe que celle du
cylindre creux, son moment d’inertie est plus faible que celui du cylindre creux).
• Sphère pleine de rayon R centrée sur l’axe Δ : J Δ = (2/5)mR
2 .
2 Moment d’une force
Imaginons une personne voulant ouvrir une porte en lui appliquant une force
#»
F de
de module donné, 5 N par exemple. En quel point de la porte et dans quelle direction
devra-t-elle appliquer cette force pour que son action soit la plus efficace possible ?
© Dunod. Toute reproduction non autorisée est un délit.
partagelivrescpge.blogspot.com
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• #» v
M
#» u Δ
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L z
Figure 14.2. Exemple 1 (Lz > 0).
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#» v M
#» u Δ
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L z
Figure 14.3. Exemple 2 (Lz < 0).
Quel que soit le mouvement de M , on peut montrer en utilisant les coordonnées cylindriques que son moment cinétique par rapport à l’axe (Oz) est toujours de la forme :
L z = mr
2 ˙
θ (où r est la distance de M à l’axe (Oz)).
Considérons maintenant le cas d’un solide en rotation autour de l’axe fixe (Δ).
Le moment cinétique d’un solide en rotation à la vitesse angulaire ω autour d’un axe fixe (Δ)
orienté par le vecteur unitaire #» u Δ s’écrit :
L Δ = J Δ ω
J Δ est le moment d’inertie du solide par rapport à l’axe (Δ) et se mesure en kg · m
2 .
Définition : Moment cinétique d’un solide en rotation autour d’un axe fixe orienté
• J Δ est toujours positif. Le signe de L Δ , qui est donc le même que celui de ω,
nous renseigne sur le sens de rotation du solide autour de l’axe.
• J Δ ne dépend que de la géométrie du solide et de sa répartition des masses. Plus
les masses sont éloignées de l’axe, plus J Δ est élevé.
Un solide étant modélisé par une distribution continue de matière, le calcul du moment d’inertie
d’un solide par rapport à un axe fait intervenir la notion de somme continue (intégrale triple sur le
volume du solide). Cet aspect dépasse largement le cadre du programme mais nous pouvons citer
quelques expressions de moments d’inertie pour des géométries simples.
• Cylindre creux de masse m, de rayon R et d’axe Δ : J Δ = mR
2 .
• Cylindre plein de masse m, de rayon R et d’axe Δ : J Δ = (1/2)mR
2 .
(remarque : la masse du cylindre plein étant globalement plus proche de l’axe que celle du
cylindre creux, son moment d’inertie est plus faible que celui du cylindre creux).
• Sphère pleine de rayon R centrée sur l’axe Δ : J Δ = (2/5)mR
2 .
2 Moment d’une force
Imaginons une personne voulant ouvrir une porte en lui appliquant une force
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F de
de module donné, 5 N par exemple. En quel point de la porte et dans quelle direction
devra-t-elle appliquer cette force pour que son action soit la plus efficace possible ?
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