368 Chapitre 14
Loi du moment cinétique
Soit (Δ) un axe orienté par le vecteur unitaire #» u Δ et O un point de cet axe. Le moment
cinétique L Δ de M dans R par rapport à (Δ) est le projeté orthogonal de
#»
L O sur (Δ) :
L Δ =
#»
L O · #» u Δ
Définition : Moment cinétique d’un point matériel par rapport à un axe orienté
Le moment cinétique de M par rapport à un axe ne dépend pas du point de l’axe choisi
pour le définir.
# »
OM
#» v
#»
L O
(Δ)
L Δ
O
#» u Δ
Figure 14.1. Moment cinétique d’un point M .
Quel est le moment cinétique par rapport à un axe fixe (Oz) d’un point M en
mouvement circulaire de rayon R 1 autour de cet axe ?
Notons O un point fixe de l’axe (Oz) et #» u z le vecteur unitaire l’orientant.
Pour étudier un tel mouvement, il est préférable d’utiliser les coordonnées cylindriques (r, θ, z) avec
r = R 1 = cste et z = z 1 = cste. Ainsi,
# »
OM = R 1
#» u r + z 1
#» u z et #» v = R 1 ˙
θ #» u θ .
On en déduit :
#»
L O =
# »
OM ∧ m #» v = (R 1
#» u r + z 1
#» u z ) ∧ mR 1 ˙
θ #» u θ = mR
2
1
˙
θ #» u z − mR 1 z 1 ˙
θ #» u r , puis :
L z =
#»
L O · #» u z = mR
2
1
˙
θ
(14.1)
Le signe de L z est donc le même que celui de ˙
θ : si L z > 0, le point M tourne dans le sens positif
(θ croissant) et si L z < 0, le point M tourne dans le sens négatif (θ décroissant).
D’un point de vue pratique, il est intéressant d’utiliser la règle de la main droite pour
déterminer le sens positif des rotations autour d’un axe orienté.
À l’aide de la main droite, on pointe le pouce dans le sens du vecteur unitaire #» u Δ de l’axe
orienté (Δ). Les autres doigts, légèrement repliés, pointent alors dans le sens positif des rotations autour de (Δ).
Règle de la main droite et sens positif des rotations autour d’un axe orienté
partagelivrescpge.blogspot.com
Loi du moment cinétique
Soit (Δ) un axe orienté par le vecteur unitaire #» u Δ et O un point de cet axe. Le moment
cinétique L Δ de M dans R par rapport à (Δ) est le projeté orthogonal de
#»
L O sur (Δ) :
L Δ =
#»
L O · #» u Δ
Définition : Moment cinétique d’un point matériel par rapport à un axe orienté
Le moment cinétique de M par rapport à un axe ne dépend pas du point de l’axe choisi
pour le définir.
# »
OM
#» v
#»
L O
(Δ)
L Δ
O
#» u Δ
Figure 14.1. Moment cinétique d’un point M .
Quel est le moment cinétique par rapport à un axe fixe (Oz) d’un point M en
mouvement circulaire de rayon R 1 autour de cet axe ?
Notons O un point fixe de l’axe (Oz) et #» u z le vecteur unitaire l’orientant.
Pour étudier un tel mouvement, il est préférable d’utiliser les coordonnées cylindriques (r, θ, z) avec
r = R 1 = cste et z = z 1 = cste. Ainsi,
# »
OM = R 1
#» u r + z 1
#» u z et #» v = R 1 ˙
θ #» u θ .
On en déduit :
#»
L O =
# »
OM ∧ m #» v = (R 1
#» u r + z 1
#» u z ) ∧ mR 1 ˙
θ #» u θ = mR
2
1
˙
θ #» u z − mR 1 z 1 ˙
θ #» u r , puis :
L z =
#»
L O · #» u z = mR
2
1
˙
θ
(14.1)
Le signe de L z est donc le même que celui de ˙
θ : si L z > 0, le point M tourne dans le sens positif
(θ croissant) et si L z < 0, le point M tourne dans le sens négatif (θ décroissant).
D’un point de vue pratique, il est intéressant d’utiliser la règle de la main droite pour
déterminer le sens positif des rotations autour d’un axe orienté.
À l’aide de la main droite, on pointe le pouce dans le sens du vecteur unitaire #» u Δ de l’axe
orienté (Δ). Les autres doigts, légèrement repliés, pointent alors dans le sens positif des rotations autour de (Δ).
Règle de la main droite et sens positif des rotations autour d’un axe orienté
partagelivrescpge.blogspot.com