L’essentiel du cours 35
fonctions sinusoïdales de même pulsation ω est lui-même une fonction sinusoïdale de pulsation ω.
Nous pouvons donc la chercher sous la forme s(M, t) = S cos(ωt + φ).
Comment déterminer l’amplitude du signal résultant de la superposition de deux
signaux sinusoïdaux de même pulsation ?
Pour répondre à cette question, nous allons utiliser la représentation de Fresnel.
À un signal sinusoïdal de la forme :
s(t) = S cos(ωt + ϕ)
la représentation de Fresnel associe dans le plan (Oxy)
le vecteur
#»
S (t) de norme
#»
S = S et faisant un angle
#» u x ,
#»
S
= ωt + ϕ avec l’axe (Ox).
Ce vecteur tourne dans le plan (Oxy) autour de l’axe Oz
à la vitesse angulaire ω.
x
y
O
#»
S (0)
ϕ
#»
S (t)
ωt + ϕ
Définition : Représentation de Fresnel
En utilisant la représentation de Fresnel, représentons dans
le même plan (Oxy) les vecteurs
#»
S 1 (M, t) et
#»
S 2 (M, t) associés aux signaux s 1 (M, t) et s 2 (M, t) (figure 2.19).
Le vecteur
#»
S (M, t) associé au signal résultant est défini par
#»
S (M, t) =
#»
S 1 (M, t) +
#»
S 2 (M, t).
Les vecteurs
#»
S 1 (M, t) et
#»
S 2 (M, t) tournant autour de
l’axe Oz à la même vitesse angulaire ω, leur écart angulaire
ne varie pas au cours du temps et la figure tourne sans se
déformer. Nous en déduisons que le vecteur
#»
S (M, t) tourne
lui-aussi à la vitesse angulaire ω et que son module reste
constant. Cela confirme l’expression du signal résultant qui
s’écrit sous la forme s(M, t) = S cos(ωt + ϕ).
L’amplitude S du signal résultant ne dépend que du
déphasage entre les signaux s 1 (M,t) et s 2 (M,t).
x
y
O
ωt + ϕ 1
#»
S 1 (M, t)
ωt + ϕ 2
#»
S 2 (M, t)
#»
S (M, t)
Figure 2.19. Construction de Fresnel en M .
L’amplitude S du signal résultant se détermine en calculant la norme du vecteur résultant
#»
S (M, t) :
S =
#»
S =
#»
S 1 +
#»
S 2 =
#»
S 1 +
#»
S 2
·
#»
S 1 +
#»
S 2
=
#»
S 1 ·
#»
S 1
+
#»
S 2 ·
#»
S 2
+ 2
#»
S 1 ·
#»
S 2
On en déduit une expression appelée formule des interférences :
S =
S 2
1 + S 2
2 + 2S 1 S 2 cos (ϕ 1 − ϕ 2 )
© Dunod. Toute reproduction non autorisée est un délit.
partagelivrescpge.blogspot.com
fonctions sinusoïdales de même pulsation ω est lui-même une fonction sinusoïdale de pulsation ω.
Nous pouvons donc la chercher sous la forme s(M, t) = S cos(ωt + φ).
Comment déterminer l’amplitude du signal résultant de la superposition de deux
signaux sinusoïdaux de même pulsation ?
Pour répondre à cette question, nous allons utiliser la représentation de Fresnel.
À un signal sinusoïdal de la forme :
s(t) = S cos(ωt + ϕ)
la représentation de Fresnel associe dans le plan (Oxy)
le vecteur
#»
S (t) de norme
#»
S = S et faisant un angle
#» u x ,
#»
S
= ωt + ϕ avec l’axe (Ox).
Ce vecteur tourne dans le plan (Oxy) autour de l’axe Oz
à la vitesse angulaire ω.
x
y
O
#»
S (0)
ϕ
#»
S (t)
ωt + ϕ
Définition : Représentation de Fresnel
En utilisant la représentation de Fresnel, représentons dans
le même plan (Oxy) les vecteurs
#»
S 1 (M, t) et
#»
S 2 (M, t) associés aux signaux s 1 (M, t) et s 2 (M, t) (figure 2.19).
Le vecteur
#»
S (M, t) associé au signal résultant est défini par
#»
S (M, t) =
#»
S 1 (M, t) +
#»
S 2 (M, t).
Les vecteurs
#»
S 1 (M, t) et
#»
S 2 (M, t) tournant autour de
l’axe Oz à la même vitesse angulaire ω, leur écart angulaire
ne varie pas au cours du temps et la figure tourne sans se
déformer. Nous en déduisons que le vecteur
#»
S (M, t) tourne
lui-aussi à la vitesse angulaire ω et que son module reste
constant. Cela confirme l’expression du signal résultant qui
s’écrit sous la forme s(M, t) = S cos(ωt + ϕ).
L’amplitude S du signal résultant ne dépend que du
déphasage entre les signaux s 1 (M,t) et s 2 (M,t).
x
y
O
ωt + ϕ 1
#»
S 1 (M, t)
ωt + ϕ 2
#»
S 2 (M, t)
#»
S (M, t)
Figure 2.19. Construction de Fresnel en M .
L’amplitude S du signal résultant se détermine en calculant la norme du vecteur résultant
#»
S (M, t) :
S =
#»
S =
#»
S 1 +
#»
S 2 =
#»
S 1 +
#»
S 2
·
#»
S 1 +
#»
S 2
=
#»
S 1 ·
#»
S 1
+
#»
S 2 ·
#»
S 2
+ 2
#»
S 1 ·
#»
S 2
On en déduit une expression appelée formule des interférences :
S =
S 2
1 + S 2
2 + 2S 1 S 2 cos (ϕ 1 − ϕ 2 )
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