364 Chapitre 13
Mouvements de particules chargées
Exercice 13.6
1. Par lecture sur le graphe de Paschen avec pd1 = 10 bar · mm, nous pouvons estimer que U d ≈ 38 kV et
en déduire que : E d =
U d
d
≈ 3,8 · 10
6 V · m
−1 .
2. En appliquant la loi de la quantité de mouvement à un électron soumis à E d , on peut aboutir à
l’expression de sa vitesse à l’instant τc : #» v ≈
−e
#»
E d
me
τc.
Son énergie cinétique est donc Wazote =
1
2
mev
2 =
e
2 E
2
d τ
2
c
2me
et E d ≈
1
eτc
√
2Wazoteme = 13 · 10
6 V · m
−1 .
Le champ obtenu par cette estimation grossière est 3 à 4 fois plus grand que le champ mesuré, mais
l’ordre de grandeur est acceptable.
3. D’après la courbe de Paschen, U d augmentera. Ceci peut s’expliquer en disant que l’augmentation de
la pression est corrélée à une diminution de τc (plus de collisions par unité de temps) et donc, d’après
l’expression de E d ci-dessus, celui-ci croît avec p ; d1 restant constante, cette augmentation de E d donne
lieu à une augmentation de U d = d1E d .
Exercice 13.7
1. Le champ électrique
#»
E est dirigé dans le sens opposé à u, il accélère donc le proton. La loi de la quantité
de mouvement s’écrit alors pour le proton m0
d #» v
dt
= e
#»
E avec
#»
E uniforme et orienté de la gauche vers
la droite, de norme UM /d avec d distance entre les deux Dees. Du coup, #» v (t) =
e
m0
#»
Et, le mouvement
du proton est donc rectiligne et d’accélération
e
m0
#»
E uniforme.
On utilise la conservation de l’énergie mécanique :
1
2
m0v
2
1 = eUM , soit v1 =
2eUM
m0
= 4,4 · 10
6 m · s
−1 .
2. Dans D b règne un champ magnétique uniforme, et la force exercée sur le proton est alors
#»
F = e #» v ∧
#»
B.
Cette force est perpendiculaire à #» v , donc elle ne travaille pas. L’énergie mécanique se limite alors à
l’énergie cinétique, et se conserve : la norme de la vitesse du proton reste donc la même dans D b .
On applique la loi de la quantité de mouvement au proton : m0
d #» v
dt
= e #» v ∧
#»
B. La trajectoire étant
circulaire, l’accélération s’écrit en polaire −
v
2
1
R1
#» ur et de plus e #» v ∧
#»
B = −ev1B #» ur, d’où m0
v
2
1
R1
= ev1B,
d’où R1 =
m0v1
eB
=
2m0UM
e
1
B
= 9,1 mm.
3. Le mouvement étant circulaire uniforme, il est parcouru à vitesse angulaire constante ωc =
v1
R1
=
eB
m0
,
et donc à la fréquence fc =
eB
2πm0
, ce qui correspond à la période Tc =
2πm0
eB
. Le proton mettra donc
le temps
Tc
2
=
πm0
eB
à parcourir le demi-cercle dans le Dee ; cette durée est bien indépendante de v1.
4. Il faudra qu’à la sortie de D b , le champ électrique soit orienté de D b vers Da ; la fréquence f doit donc
être égale fc. f = 76 MHz.
5. Par une méthode énergétique, on peut écrire que
1
2
m0v
2
2 =
1
2
m0v
2
1 + eUM , soit v
2
2 = v
2
1 +
2eUM
m0
= 2v
2
1 .
Il vient donc v2 =
√
2v1 = 2
eUM
m0
= 6,2 · 10
6 m · s
−1 . D’où R2 =
√
2R1 = 2
m0UM
e
1
B
= 13 mm.
6. f
c =
eB
2πm0
1 − v 2 /c 2 : cette fréquence dépendant de la vitesse, elle ne sera plus constante, ce qui
risque de poser un problème pour l’inversion du champ électrique.
Nous constatons que f
c diminue si la vitesse des protons augmente.
partagelivrescpge.blogspot.com
Mouvements de particules chargées
Exercice 13.6
1. Par lecture sur le graphe de Paschen avec pd1 = 10 bar · mm, nous pouvons estimer que U d ≈ 38 kV et
en déduire que : E d =
U d
d
≈ 3,8 · 10
6 V · m
−1 .
2. En appliquant la loi de la quantité de mouvement à un électron soumis à E d , on peut aboutir à
l’expression de sa vitesse à l’instant τc : #» v ≈
−e
#»
E d
me
τc.
Son énergie cinétique est donc Wazote =
1
2
mev
2 =
e
2 E
2
d τ
2
c
2me
et E d ≈
1
eτc
√
2Wazoteme = 13 · 10
6 V · m
−1 .
Le champ obtenu par cette estimation grossière est 3 à 4 fois plus grand que le champ mesuré, mais
l’ordre de grandeur est acceptable.
3. D’après la courbe de Paschen, U d augmentera. Ceci peut s’expliquer en disant que l’augmentation de
la pression est corrélée à une diminution de τc (plus de collisions par unité de temps) et donc, d’après
l’expression de E d ci-dessus, celui-ci croît avec p ; d1 restant constante, cette augmentation de E d donne
lieu à une augmentation de U d = d1E d .
Exercice 13.7
1. Le champ électrique
#»
E est dirigé dans le sens opposé à u, il accélère donc le proton. La loi de la quantité
de mouvement s’écrit alors pour le proton m0
d #» v
dt
= e
#»
E avec
#»
E uniforme et orienté de la gauche vers
la droite, de norme UM /d avec d distance entre les deux Dees. Du coup, #» v (t) =
e
m0
#»
Et, le mouvement
du proton est donc rectiligne et d’accélération
e
m0
#»
E uniforme.
On utilise la conservation de l’énergie mécanique :
1
2
m0v
2
1 = eUM , soit v1 =
2eUM
m0
= 4,4 · 10
6 m · s
−1 .
2. Dans D b règne un champ magnétique uniforme, et la force exercée sur le proton est alors
#»
F = e #» v ∧
#»
B.
Cette force est perpendiculaire à #» v , donc elle ne travaille pas. L’énergie mécanique se limite alors à
l’énergie cinétique, et se conserve : la norme de la vitesse du proton reste donc la même dans D b .
On applique la loi de la quantité de mouvement au proton : m0
d #» v
dt
= e #» v ∧
#»
B. La trajectoire étant
circulaire, l’accélération s’écrit en polaire −
v
2
1
R1
#» ur et de plus e #» v ∧
#»
B = −ev1B #» ur, d’où m0
v
2
1
R1
= ev1B,
d’où R1 =
m0v1
eB
=
2m0UM
e
1
B
= 9,1 mm.
3. Le mouvement étant circulaire uniforme, il est parcouru à vitesse angulaire constante ωc =
v1
R1
=
eB
m0
,
et donc à la fréquence fc =
eB
2πm0
, ce qui correspond à la période Tc =
2πm0
eB
. Le proton mettra donc
le temps
Tc
2
=
πm0
eB
à parcourir le demi-cercle dans le Dee ; cette durée est bien indépendante de v1.
4. Il faudra qu’à la sortie de D b , le champ électrique soit orienté de D b vers Da ; la fréquence f doit donc
être égale fc. f = 76 MHz.
5. Par une méthode énergétique, on peut écrire que
1
2
m0v
2
2 =
1
2
m0v
2
1 + eUM , soit v
2
2 = v
2
1 +
2eUM
m0
= 2v
2
1 .
Il vient donc v2 =
√
2v1 = 2
eUM
m0
= 6,2 · 10
6 m · s
−1 . D’où R2 =
√
2R1 = 2
m0UM
e
1
B
= 13 mm.
6. f
c =
eB
2πm0
1 − v 2 /c 2 : cette fréquence dépendant de la vitesse, elle ne sera plus constante, ce qui
risque de poser un problème pour l’inversion du champ électrique.
Nous constatons que f
c diminue si la vitesse des protons augmente.
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