L’essentiel du cours 351
Comment déterminer l’expression du rayon de la trajectoire ?
x
y
O
#» u x
#» u y
C
•
•
#» u r
#» u θ
#»
B
θ
R
Figure 13.6. Base polaire liée à M .
L’étude est menée dans le référentiel R du laboratoire supposé galiléen, auquel est associé le
repère cartésien (O, #» u x , #» u y ).
La trajectoire étant un cercle de rayon R et
de centre C, il est pertinent d’utiliser les coordonnées polaires (R, θ) pour repérer la position d’un point M de la trajectoire ainsi que la
base polaire ( #» u r , #» u θ ) liée à ce point, telle que
# »
CM = R #» u r (figure 13.6).
La loi de la quantité de mouvement appliquée à la particule dans le référentiel R conduit à :
d #» p
dt
R
= q #» v ∧
#»
B =⇒ m #» a = q #» v ∧
#»
B
avec #» v =
d
# »
OM
dt
R
= v #» u θ et #» a =
d #» v
dt
R
= −
v
2
R
#» u r +
dv
dt
#» u θ (voir méthode 10.4 du chapitre 10
de cinématique).
Nous en déduisons :
#»
F m = q #» v ∧
#»
B = q (v #» u θ ) ∧ B #» u z = qvB ( #» u θ ∧ #» u z ) = −qvB #» u r et :
m
−
v
2
R
#» u r +
dv
dt
#» u θ
= −qvB #» u r
(13.3)
En projetant l’équation vectorielle 13.3 sur #» u r et #» u θ nous obtenons les deux équations suivantes :
m
v
2
R
= qvB et m
dv
dt
= 0
De la seconde nous déduisons que le mouvement circulaire est uniforme, v restant donc égale
à v 0 au cours du mouvement.
De la première nous déduisons l’expression du rayon de la trajectoire : R =
mv 0
qB
.
Le rayon de la trajectoire circulaire est une fonction croissante du rapport m/q de la
particule et de sa vitesse v 0 .
Retour au contexte du spectromètre de masse :
Les particules arrivent toutes à l’entrée du secteur magnétique du spectromètre de masse avec la
même vitesse. Les isotopes d’un même élément sont séparés dans ce secteur magnétique et produisent des points d’impact différents au niveau du détecteur en raison de rapports m/q différents.
© Dunod. Toute reproduction non autorisée est un délit.
partagelivrescpge.blogspot.com
Comment déterminer l’expression du rayon de la trajectoire ?
x
y
O
#» u x
#» u y
C
•
•
#» u r
#» u θ
#»
B
θ
R
Figure 13.6. Base polaire liée à M .
L’étude est menée dans le référentiel R du laboratoire supposé galiléen, auquel est associé le
repère cartésien (O, #» u x , #» u y ).
La trajectoire étant un cercle de rayon R et
de centre C, il est pertinent d’utiliser les coordonnées polaires (R, θ) pour repérer la position d’un point M de la trajectoire ainsi que la
base polaire ( #» u r , #» u θ ) liée à ce point, telle que
# »
CM = R #» u r (figure 13.6).
La loi de la quantité de mouvement appliquée à la particule dans le référentiel R conduit à :
d #» p
dt
R
= q #» v ∧
#»
B =⇒ m #» a = q #» v ∧
#»
B
avec #» v =
d
# »
OM
dt
R
= v #» u θ et #» a =
d #» v
dt
R
= −
v
2
R
#» u r +
dv
dt
#» u θ (voir méthode 10.4 du chapitre 10
de cinématique).
Nous en déduisons :
#»
F m = q #» v ∧
#»
B = q (v #» u θ ) ∧ B #» u z = qvB ( #» u θ ∧ #» u z ) = −qvB #» u r et :
m
−
v
2
R
#» u r +
dv
dt
#» u θ
= −qvB #» u r
(13.3)
En projetant l’équation vectorielle 13.3 sur #» u r et #» u θ nous obtenons les deux équations suivantes :
m
v
2
R
= qvB et m
dv
dt
= 0
De la seconde nous déduisons que le mouvement circulaire est uniforme, v restant donc égale
à v 0 au cours du mouvement.
De la première nous déduisons l’expression du rayon de la trajectoire : R =
mv 0
qB
.
Le rayon de la trajectoire circulaire est une fonction croissante du rapport m/q de la
particule et de sa vitesse v 0 .
Retour au contexte du spectromètre de masse :
Les particules arrivent toutes à l’entrée du secteur magnétique du spectromètre de masse avec la
même vitesse. Les isotopes d’un même élément sont séparés dans ce secteur magnétique et produisent des points d’impact différents au niveau du détecteur en raison de rapports m/q différents.
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