348 Chapitre 13
Mouvements de particules chargées
1
re méthode : Utilisation d’une loi énergétique
L’application à la particule, dans le référentiel galiléen du laboratoire, de la loi de l’énergie cinétique
entre les points O et A conduit à :
E c (A) − E c (O) =
A
O
# »
F e ·
#»
dl =
d
0
qE #» u x · dx #» u x =⇒
1
2
mv
2
f − 0 = qEd
D’où nous déduisons :
(13.2)
v f =
2qU
m
Il est aussi possible d’utiliser la loi de l’énergie mécanique sachant que l’énergie potentielle d’une particule chargée dans un champ électrostatique est E pelec = qV + cste où
V est le potentiel électrique au point M .
2
e méthode : Utilisation de la loi de la quantité de mouvement
La loi de la quantité de mouvement nous a permis d’établir l’équation du mouvement (13.1). Par
intégrations successives avec pour conditions initiales : #» v (0) =
#»
0 et
# »
OM (0) =
#»
0 , nous obtenons :
¨
x =
qE
m
; ˙
x =
qE
m
t ; x =
qE
2m
t
2
Soit t 1 la date d’arrivée de la particule en A : x(t 1 ) = d =
qE
2m
t
2
1
=⇒ t 1 =
2md
qE
.
Puis en reportant t 1 dans l’expression de la vitesse : v f = ˙
x(t 1 ) =
2dqE
m
. Or E =
U
d
donc :
v f =
2qU
m
. Nous retrouvons bien le résultat précédent.
Soit une particule de charge q pénétrant en O dans un champ
#»
E uniforme et stationnaire avec
une vitesse #» v 0 .
• Cas où #» v 0 est parallèle à
#»
E.
— Choisir un repère cartésien tel qu’un des axes (par exemple Ox) soit parallèle à
#»
E.
— Appliquer la loi de la quantité de mouvement en projection sur l’axe Ox ou la loi
de l’énergie cinétique pour montrer que le mouvement est rectiligne uniformément
accéléré dans la direction de
#»
E et déterminer la vitesse finale atteinte.
• Cas où #» v 0 n’est pas parallèle à
#»
E.
— Choisir un repère cartésien tel qu’un des axes (par exemple Ox) soit parallèle à
#»
E
et qu’un des plans de projection (par exemple Oxy) soit défini par O,
#»
E et #» v 0 .
— Appliquer la loi de la quantité de mouvement et la projeter sur les axes Ox et Oy.
— Intégrer les équations différentielles obtenues pour montrer que le mouvement est
uniformément accéléré dans la direction Ox et uniforme dans la direction Oy.
— Déterminer l’équation de la trajectoire et montrer que c’est une parabole.
Méthode 13.1 : Étude du mouvement d’une particule dans un champ électrique
Exercice (13.1)
partagelivrescpge.blogspot.com
Mouvements de particules chargées
1
re méthode : Utilisation d’une loi énergétique
L’application à la particule, dans le référentiel galiléen du laboratoire, de la loi de l’énergie cinétique
entre les points O et A conduit à :
E c (A) − E c (O) =
A
O
# »
F e ·
#»
dl =
d
0
qE #» u x · dx #» u x =⇒
1
2
mv
2
f − 0 = qEd
D’où nous déduisons :
(13.2)
v f =
2qU
m
Il est aussi possible d’utiliser la loi de l’énergie mécanique sachant que l’énergie potentielle d’une particule chargée dans un champ électrostatique est E pelec = qV + cste où
V est le potentiel électrique au point M .
2
e méthode : Utilisation de la loi de la quantité de mouvement
La loi de la quantité de mouvement nous a permis d’établir l’équation du mouvement (13.1). Par
intégrations successives avec pour conditions initiales : #» v (0) =
#»
0 et
# »
OM (0) =
#»
0 , nous obtenons :
¨
x =
qE
m
; ˙
x =
qE
m
t ; x =
qE
2m
t
2
Soit t 1 la date d’arrivée de la particule en A : x(t 1 ) = d =
qE
2m
t
2
1
=⇒ t 1 =
2md
qE
.
Puis en reportant t 1 dans l’expression de la vitesse : v f = ˙
x(t 1 ) =
2dqE
m
. Or E =
U
d
donc :
v f =
2qU
m
. Nous retrouvons bien le résultat précédent.
Soit une particule de charge q pénétrant en O dans un champ
#»
E uniforme et stationnaire avec
une vitesse #» v 0 .
• Cas où #» v 0 est parallèle à
#»
E.
— Choisir un repère cartésien tel qu’un des axes (par exemple Ox) soit parallèle à
#»
E.
— Appliquer la loi de la quantité de mouvement en projection sur l’axe Ox ou la loi
de l’énergie cinétique pour montrer que le mouvement est rectiligne uniformément
accéléré dans la direction de
#»
E et déterminer la vitesse finale atteinte.
• Cas où #» v 0 n’est pas parallèle à
#»
E.
— Choisir un repère cartésien tel qu’un des axes (par exemple Ox) soit parallèle à
#»
E
et qu’un des plans de projection (par exemple Oxy) soit défini par O,
#»
E et #» v 0 .
— Appliquer la loi de la quantité de mouvement et la projeter sur les axes Ox et Oy.
— Intégrer les équations différentielles obtenues pour montrer que le mouvement est
uniformément accéléré dans la direction Ox et uniforme dans la direction Oy.
— Déterminer l’équation de la trajectoire et montrer que c’est une parabole.
Méthode 13.1 : Étude du mouvement d’une particule dans un champ électrique
Exercice (13.1)
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