Corrections 343
Exercice 12.8
1. Lorsque M est en chute libre (corde non tendue), il n’est soumis qu’à son poids qui dérive de l’énergie
potentielle de pesanteur Epp = −mgz. Lorsque la corde se tend, se rajoute la tension de la corde, qui
dérive de l’énergie potentielle élastique Epe =
k
2
(z − zA − l0)
2 =
k
2
(z − 2l0)
2 (la longueur de la corde
est z − zA). Tous les frottements étant négligés, la chute de M se fera avec conservation de l’énergie
mécanique.
2. Epp = −mgz. La conservation de l’énergie mécanique s’écrit
1
2
mv
2 − mgz = 0, avec z − zA < l0, soit
z < 2l0, car v = 0 en z = 0. Cette phase cesse en z = 2l0, où la vitesse est v0 =
√
4gl0 = 20 m · s
−1 .
3. Dans la seconde phase, l’énergie potentielle devient Ep = −mgz +
k
2
(z − 2l0)
2 .
4. Dans cette seconde phase, la conservation de l’énergie mécanique s’écrit :
1
2
mv
2 −mgz +
k
2
(z−2l0)
2 = 0.
Cette phase cesse en z = H tel que v(H) = 0. H vérifie donc l’équation suivante :
H
2 − 2
2l0 +
mg
k
H + 4l
2
0 = 0. On aboutit à H =
2l0 +
mg
k
+
2l0 +
mg
k
2
− 4l
2
0 = 24 m, seule
racine de valeur supérieure à 2l0.
5. La force élastique en H vaut
#»
F = −k(H − 2l0) #» uz, de norme F = k(H − 2l0) = 8,3 kN. En remplaçant
H par son expression, nous constatons que F croît avec k. Heureusement pour Peter, F < 12 kN : il
s’en tirera avec quelques contusions, mais bien vivant !
Exercice 12.9
1. Pour exprimer la distance AM , appliquons la relation de Chasles :
# »
AM =
# »
AO+
# »
OM . Nous en déduisons
AM =
# »
AM ·
# »
AM =
4R 2 + R 2 − 4R 2 cos(θ) = R
5 − 4 cos(θ).
2. Le travail élémentaire de la force s’écrit
#»
F e : δW =
#»
F e · d
# »
AM =
k
(AM 2 ) 3/2
1
2
d(AM
2 )
= −dEpe avec
Epe =
k
(AM 2 ) 1/2 =
k
R
5 − 4 cos(θ)
.
3. La liaison d’axe étant supposée sans frottement, il nous suffit de rajouter l’énergie potentielle de pesanteur Epp = mgzM = −mgR cos(θ) (origine prise en O) à l’énergie potentielle ci-dessus, d’où la forme
suivante pour l’énergie potentielle totale de la boule : Ep(θ) = −mgR cos(θ) +
k
R
5 − 4 cos(θ)
.
4. Il y a deux positions d’équilibre stables (cuvettes de potentiel) au voisinage de ±1 rad, et trois positions
d’équilibre instables (maxima d’énergie potentielle) en −π, 0 et π.
5. La conservation de l’énergie mécanique amène à :
1
2
mv
2 = Em0 − Ep(θ). Nous pouvons donc considérer
plusieurs configurations pour l’énergie mécanique.
— Cas 1 : Em0 < 0,035 J : pas de mouvement possible.
— Cas 2 : 0,035 J ≤ Em0 ≤ 0,044 J : mouvement oscillatoire périodique autour d’une des deux positions
d’équilibre stable.
— Cas 3 : 0,044 J < Em0 ≤ 0,054 J : mouvement périodique entre deux valeurs correspondant à
l’intersection de la droite Em0 avec la courbe d’énergie potentielle.
— Cas 4 : Em0 > 0,054 J : mouvement révolutif.
6. On observe des trajectoires quasi-elliptiques au voisinage des deux positions d’équilibre stables, ce qui
correspond au cas 2 cité ci-dessus, puis des trajectoires fermées non elliptiques avec un minimum local
pour ˙
θ en θ = 0, qui correspondent au cas 3, et enfin deux trajectoires de phases ouvertes symétriques
par rapport à l’axe correspondant au cas 4.
© Dunod. Toute reproduction non autorisée est un délit.
partagelivrescpge.blogspot.com
Exercice 12.8
1. Lorsque M est en chute libre (corde non tendue), il n’est soumis qu’à son poids qui dérive de l’énergie
potentielle de pesanteur Epp = −mgz. Lorsque la corde se tend, se rajoute la tension de la corde, qui
dérive de l’énergie potentielle élastique Epe =
k
2
(z − zA − l0)
2 =
k
2
(z − 2l0)
2 (la longueur de la corde
est z − zA). Tous les frottements étant négligés, la chute de M se fera avec conservation de l’énergie
mécanique.
2. Epp = −mgz. La conservation de l’énergie mécanique s’écrit
1
2
mv
2 − mgz = 0, avec z − zA < l0, soit
z < 2l0, car v = 0 en z = 0. Cette phase cesse en z = 2l0, où la vitesse est v0 =
√
4gl0 = 20 m · s
−1 .
3. Dans la seconde phase, l’énergie potentielle devient Ep = −mgz +
k
2
(z − 2l0)
2 .
4. Dans cette seconde phase, la conservation de l’énergie mécanique s’écrit :
1
2
mv
2 −mgz +
k
2
(z−2l0)
2 = 0.
Cette phase cesse en z = H tel que v(H) = 0. H vérifie donc l’équation suivante :
H
2 − 2
2l0 +
mg
k
H + 4l
2
0 = 0. On aboutit à H =
2l0 +
mg
k
+
2l0 +
mg
k
2
− 4l
2
0 = 24 m, seule
racine de valeur supérieure à 2l0.
5. La force élastique en H vaut
#»
F = −k(H − 2l0) #» uz, de norme F = k(H − 2l0) = 8,3 kN. En remplaçant
H par son expression, nous constatons que F croît avec k. Heureusement pour Peter, F < 12 kN : il
s’en tirera avec quelques contusions, mais bien vivant !
Exercice 12.9
1. Pour exprimer la distance AM , appliquons la relation de Chasles :
# »
AM =
# »
AO+
# »
OM . Nous en déduisons
AM =
# »
AM ·
# »
AM =
4R 2 + R 2 − 4R 2 cos(θ) = R
5 − 4 cos(θ).
2. Le travail élémentaire de la force s’écrit
#»
F e : δW =
#»
F e · d
# »
AM =
k
(AM 2 ) 3/2
1
2
d(AM
2 )
= −dEpe avec
Epe =
k
(AM 2 ) 1/2 =
k
R
5 − 4 cos(θ)
.
3. La liaison d’axe étant supposée sans frottement, il nous suffit de rajouter l’énergie potentielle de pesanteur Epp = mgzM = −mgR cos(θ) (origine prise en O) à l’énergie potentielle ci-dessus, d’où la forme
suivante pour l’énergie potentielle totale de la boule : Ep(θ) = −mgR cos(θ) +
k
R
5 − 4 cos(θ)
.
4. Il y a deux positions d’équilibre stables (cuvettes de potentiel) au voisinage de ±1 rad, et trois positions
d’équilibre instables (maxima d’énergie potentielle) en −π, 0 et π.
5. La conservation de l’énergie mécanique amène à :
1
2
mv
2 = Em0 − Ep(θ). Nous pouvons donc considérer
plusieurs configurations pour l’énergie mécanique.
— Cas 1 : Em0 < 0,035 J : pas de mouvement possible.
— Cas 2 : 0,035 J ≤ Em0 ≤ 0,044 J : mouvement oscillatoire périodique autour d’une des deux positions
d’équilibre stable.
— Cas 3 : 0,044 J < Em0 ≤ 0,054 J : mouvement périodique entre deux valeurs correspondant à
l’intersection de la droite Em0 avec la courbe d’énergie potentielle.
— Cas 4 : Em0 > 0,054 J : mouvement révolutif.
6. On observe des trajectoires quasi-elliptiques au voisinage des deux positions d’équilibre stables, ce qui
correspond au cas 2 cité ci-dessus, puis des trajectoires fermées non elliptiques avec un minimum local
pour ˙
θ en θ = 0, qui correspondent au cas 3, et enfin deux trajectoires de phases ouvertes symétriques
par rapport à l’axe correspondant au cas 4.
© Dunod. Toute reproduction non autorisée est un délit.
partagelivrescpge.blogspot.com