342 Chapitre 12
Approche énergétique
Exercice 12.5
1. Pour déterminer les positions d’équilibre, on dérive Ep(θ) par rapport à θ et on cherche à annuler cette
dérivée.
dEp
dθ
= E0 + mgR sin(θ) = 0 amène à sin(θ) = −
E0
mgR
. Pour que cette équation admette
des solutions, il faut que
E0
mgR
≤ 1. Dans ce cas, on obtient pour les deux positions d’équilibre entre
[−π, +π] : θ1 = − arcsin
E0
mgR
∈ [−π/2, 0] et θ2 = −π + arcsin
E0
mgR
∈ [−π, −π/2].
2. Pour étudier la stabilité de ces équilibres, il faut dériver deux fois l’énergie potentielle par rapport à θ
et étudier le signe de cette dérivée seconde pour les positions d’équilibre déterminées précédemment.
d
2 Ep
dθ 2 = mgR cos(θ) est positive pour θ1 et négative pour θ2 : θ1 est donc une position d’équilibre
stable, θ2 une position d’équilibre instable.
Exercice 12.6
1. Le wagonnet est soumis à son poids, qui ne travaille pas, à la réaction des rails perpendiculaire à ces
derniers, qui ne travaille pas, et à la force de frottement fluide. La loi de la puissance cinétique appliquée
à ce solide en translation amène à :
dEc
dt
= Mv
dv
dt
= −hv
3 . On aboutit à
dv
v 2 = −
h
M
dt qu’on intègre
entre t = 0 (v(0) = v0) et t : v(t) =
v0
1 +
h
M
v0t
=
dx
dt
.
En intégrant de nouveau cette équation, on obtient : x(t) − x0 =
M
h
ln
1 +
h
M
v0t
. Le temps t f pour
lequel le wagon arrive au précipice est donné par x(t f ) − x0 = d = 300 m. Nous obtenons ainsi :
t f =
M
hv0
exp
hd
M
− 1
= 18 s, et v f = v(t f ) = 41 km · h
−1 .
2. Le système est conservatif, l’énergie mécanique d’indiana Jones se conserve et vaut initialement
1
2
mv
2
f ;
z étant l’altitude de G comptée à partir de la position intiale, il vient ainsi :
1
2
mv
2 + mgz =
1
2
mv
2
f ,
soit z =
1
2g
v
2
f − v
2
<
1
2g
v
2
f = 6,6 m. Indy pourra atteindre le surplomb.
Exercice 12.7
1. Comme tous les frottements sont négligés, le système est conservatif. La seule énergie potentielle à
prendre en compte est l’énergie potentielle élastique des ressorts, Epe = 2
1
2
k
l
2
0 + x 2 − l0
2
. La
conservation de l’énergie mécanique s’écrit :
1
2
M ˙
x
2 + 2
1
2
k
l
2
0 + x 2 − l0
2
=
1
2
MV
2 = k
l
2
0 + x
2
f − l0
2 avec x f l’abscisse d’arrêt du train. Il
vient ainsi : k =
1
2
MV
2
l
2
0 + x
2
f − l0
2 = 1,9 · 10
2 N · m
−1
2. Lorsqu’on est proche de l’arrêt, on peut considérer que x l0, soit Ep ≈ kx
2 . On aboutit alors à :
1
2
Mv
2 + kx
2 ≈
1
2
MV
2 . En dérivant cette expression par rapport au temps, il vient : M
dv
dt
+ 2kx = 0.
En identifiant
dv
dt
à −
V
τ
, on trouve τ ≈
MV
2kx f
≈ 22 s : le temps trouvé par cette méthode approchée
est plus faible que celui annoncé dans l’énoncé, mais l’ordre de grandeur est respecté.
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Approche énergétique
Exercice 12.5
1. Pour déterminer les positions d’équilibre, on dérive Ep(θ) par rapport à θ et on cherche à annuler cette
dérivée.
dEp
dθ
= E0 + mgR sin(θ) = 0 amène à sin(θ) = −
E0
mgR
. Pour que cette équation admette
des solutions, il faut que
E0
mgR
≤ 1. Dans ce cas, on obtient pour les deux positions d’équilibre entre
[−π, +π] : θ1 = − arcsin
E0
mgR
∈ [−π/2, 0] et θ2 = −π + arcsin
E0
mgR
∈ [−π, −π/2].
2. Pour étudier la stabilité de ces équilibres, il faut dériver deux fois l’énergie potentielle par rapport à θ
et étudier le signe de cette dérivée seconde pour les positions d’équilibre déterminées précédemment.
d
2 Ep
dθ 2 = mgR cos(θ) est positive pour θ1 et négative pour θ2 : θ1 est donc une position d’équilibre
stable, θ2 une position d’équilibre instable.
Exercice 12.6
1. Le wagonnet est soumis à son poids, qui ne travaille pas, à la réaction des rails perpendiculaire à ces
derniers, qui ne travaille pas, et à la force de frottement fluide. La loi de la puissance cinétique appliquée
à ce solide en translation amène à :
dEc
dt
= Mv
dv
dt
= −hv
3 . On aboutit à
dv
v 2 = −
h
M
dt qu’on intègre
entre t = 0 (v(0) = v0) et t : v(t) =
v0
1 +
h
M
v0t
=
dx
dt
.
En intégrant de nouveau cette équation, on obtient : x(t) − x0 =
M
h
ln
1 +
h
M
v0t
. Le temps t f pour
lequel le wagon arrive au précipice est donné par x(t f ) − x0 = d = 300 m. Nous obtenons ainsi :
t f =
M
hv0
exp
hd
M
− 1
= 18 s, et v f = v(t f ) = 41 km · h
−1 .
2. Le système est conservatif, l’énergie mécanique d’indiana Jones se conserve et vaut initialement
1
2
mv
2
f ;
z étant l’altitude de G comptée à partir de la position intiale, il vient ainsi :
1
2
mv
2 + mgz =
1
2
mv
2
f ,
soit z =
1
2g
v
2
f − v
2
<
1
2g
v
2
f = 6,6 m. Indy pourra atteindre le surplomb.
Exercice 12.7
1. Comme tous les frottements sont négligés, le système est conservatif. La seule énergie potentielle à
prendre en compte est l’énergie potentielle élastique des ressorts, Epe = 2
1
2
k
l
2
0 + x 2 − l0
2
. La
conservation de l’énergie mécanique s’écrit :
1
2
M ˙
x
2 + 2
1
2
k
l
2
0 + x 2 − l0
2
=
1
2
MV
2 = k
l
2
0 + x
2
f − l0
2 avec x f l’abscisse d’arrêt du train. Il
vient ainsi : k =
1
2
MV
2
l
2
0 + x
2
f − l0
2 = 1,9 · 10
2 N · m
−1
2. Lorsqu’on est proche de l’arrêt, on peut considérer que x l0, soit Ep ≈ kx
2 . On aboutit alors à :
1
2
Mv
2 + kx
2 ≈
1
2
MV
2 . En dérivant cette expression par rapport au temps, il vient : M
dv
dt
+ 2kx = 0.
En identifiant
dv
dt
à −
V
τ
, on trouve τ ≈
MV
2kx f
≈ 22 s : le temps trouvé par cette méthode approchée
est plus faible que celui annoncé dans l’énoncé, mais l’ordre de grandeur est respecté.
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