Corrections 341
3. On applique la loi de l’énergie cinétique à la pierre entre O et M0 : Ec,F − Ec,I = −
1
2
mv
2
0 = −F0D,
soit v0 =
2F0D
m
= 2,7 m · s
−1 .
Exercice 12.3
1. Pour le chemin (a), r = R, θ varie entre 0 et π/2, d’où
#»
F (M ) = R
2 d
2 #» u θ et d
# »
OM = Rdθ #» u θ , soit
Wa =
(a)
#»
F (M ) · d
# »
OM =
π/2
0
d
2 R
2 Rdθ =
π
2
d
2 R
3 .
Pour le chemin (b), entre A et C, θ = 0, r varie de R à 0 et d
# »
OM = dr #» ur, entre C et B, θ = π/2, r varie
de 0 à R et d
# »
OM = dr #» ur : W b =
(b)
#»
F (M ) · d
# »
OM =
0
R
r
2 d
2 #» u θ=0 · dr #» ur +
R
0
r
2 d
2 #» u θ=π/2 · dr #» ur = 0.
Le résultat étant différent selon le chemin choisi, la force
#»
F n’est pas conservative.
2. En reprenant le même raisonnement, on aboutit à W
a = 0, W
b = 0 :
#»
F
est conservative.
3. On calcule le travail élémentaire de la force
#»
F
pour un déplacement infinitésimal d
# »
OM . En coordonnées
polaires, d
# »
OM = dr #» ur + rdθ #» u θ . Ainsi : δW
= d
2 r
2 #» ur.(dr #» u r + rdθ #» u θ ) = d
2 r
2 dr.
On obtient donc δW
= −dE
p avec E
p = −
d
2
3
r
3 + cste, énergie potentielle dont dérive
#»
F
.
Exercice 12.4
1. On introduit pour le cas (a) le système de coordonnées polaires entre A et B, avec les deux vecteurs
de base ( #» ur, #» u θ ), puis, entre B et C, un système de coordonnées cartésiennes ( #» ux parallèle à BC et
orienté de B vers C, #» uz vertical ascendant).
M est soumis entre A et B à son poids
#»
P = mg(sin θ #» ur + cos θ #» u θ ), et à la réaction de la piste
#»
N = −N #» ur. Entre B et C, le poids sera
#»
P = −mg #» uz et la réaction de la piste
#»
N = N #» uz.
Dans le cas (b), M est soumis à son poids
#»
P = mg(− cos α #» uy + sin α #» ux), et à la réaction de la piste
#»
N = N #» uy.
Comme il n’y a pas de frottement, la réaction de la piste est normale à cette dernière, et ne travaille
pas, puisqu’elle est perpendiculaire à la vitesse de M . Le poids étant conservatif, le mouvement sera
conservatif.
2. Dans le cas (a), entre A et B : #» v = R ˙
θ #» u θ et Ec =
1
2
mR
2 ˙
θ
2 , entre B et C : #» v = ˙
x #» ux et Ec =
1
2
m ˙
x
2 .
Dans le cas (b), Ec =
1
2
m ˙
x
2 .
3. Dans le cas (a), on prend l’origine de l’énergie potentielle de pesanteur en z = 0, soit pour M en B :
entre A et B, Ep = mgzM = mgR(1 − sin θ), entre B et C, Ep = 0. Dans le cas (b), on prend l’origine
de l’énergie potentielle de pesanteur en x = 0, soit pour M en D : Ep = −mgx sin α.
4. Dans le cas (a) entre A et B :
1
2
mv
2 (θ)+mgR(1−sin θ) = mgR. Entre B et C, Ep = 0, donc Ec = mgR.
On obtient donc v(B) =
√
2gR = v(C) = 20 m · s
−1 . Dans le cas (b) :
1
2
mv
2 − mgx sin α = 0 , d’où
v(E) =
√
2gxE sin α =
√
2gR = 20 m · s
−1 . On obtient donc v(B) = v(E) : seule compte en l’absence
de frottement la variation d’altitude de M , et la vitesse obtenue est celle d’un mouvement de chute
libre sur la hauteur R.
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3. On applique la loi de l’énergie cinétique à la pierre entre O et M0 : Ec,F − Ec,I = −
1
2
mv
2
0 = −F0D,
soit v0 =
2F0D
m
= 2,7 m · s
−1 .
Exercice 12.3
1. Pour le chemin (a), r = R, θ varie entre 0 et π/2, d’où
#»
F (M ) = R
2 d
2 #» u θ et d
# »
OM = Rdθ #» u θ , soit
Wa =
(a)
#»
F (M ) · d
# »
OM =
π/2
0
d
2 R
2 Rdθ =
π
2
d
2 R
3 .
Pour le chemin (b), entre A et C, θ = 0, r varie de R à 0 et d
# »
OM = dr #» ur, entre C et B, θ = π/2, r varie
de 0 à R et d
# »
OM = dr #» ur : W b =
(b)
#»
F (M ) · d
# »
OM =
0
R
r
2 d
2 #» u θ=0 · dr #» ur +
R
0
r
2 d
2 #» u θ=π/2 · dr #» ur = 0.
Le résultat étant différent selon le chemin choisi, la force
#»
F n’est pas conservative.
2. En reprenant le même raisonnement, on aboutit à W
a = 0, W
b = 0 :
#»
F
est conservative.
3. On calcule le travail élémentaire de la force
#»
F
pour un déplacement infinitésimal d
# »
OM . En coordonnées
polaires, d
# »
OM = dr #» ur + rdθ #» u θ . Ainsi : δW
= d
2 r
2 #» ur.(dr #» u r + rdθ #» u θ ) = d
2 r
2 dr.
On obtient donc δW
= −dE
p avec E
p = −
d
2
3
r
3 + cste, énergie potentielle dont dérive
#»
F
.
Exercice 12.4
1. On introduit pour le cas (a) le système de coordonnées polaires entre A et B, avec les deux vecteurs
de base ( #» ur, #» u θ ), puis, entre B et C, un système de coordonnées cartésiennes ( #» ux parallèle à BC et
orienté de B vers C, #» uz vertical ascendant).
M est soumis entre A et B à son poids
#»
P = mg(sin θ #» ur + cos θ #» u θ ), et à la réaction de la piste
#»
N = −N #» ur. Entre B et C, le poids sera
#»
P = −mg #» uz et la réaction de la piste
#»
N = N #» uz.
Dans le cas (b), M est soumis à son poids
#»
P = mg(− cos α #» uy + sin α #» ux), et à la réaction de la piste
#»
N = N #» uy.
Comme il n’y a pas de frottement, la réaction de la piste est normale à cette dernière, et ne travaille
pas, puisqu’elle est perpendiculaire à la vitesse de M . Le poids étant conservatif, le mouvement sera
conservatif.
2. Dans le cas (a), entre A et B : #» v = R ˙
θ #» u θ et Ec =
1
2
mR
2 ˙
θ
2 , entre B et C : #» v = ˙
x #» ux et Ec =
1
2
m ˙
x
2 .
Dans le cas (b), Ec =
1
2
m ˙
x
2 .
3. Dans le cas (a), on prend l’origine de l’énergie potentielle de pesanteur en z = 0, soit pour M en B :
entre A et B, Ep = mgzM = mgR(1 − sin θ), entre B et C, Ep = 0. Dans le cas (b), on prend l’origine
de l’énergie potentielle de pesanteur en x = 0, soit pour M en D : Ep = −mgx sin α.
4. Dans le cas (a) entre A et B :
1
2
mv
2 (θ)+mgR(1−sin θ) = mgR. Entre B et C, Ep = 0, donc Ec = mgR.
On obtient donc v(B) =
√
2gR = v(C) = 20 m · s
−1 . Dans le cas (b) :
1
2
mv
2 − mgx sin α = 0 , d’où
v(E) =
√
2gxE sin α =
√
2gR = 20 m · s
−1 . On obtient donc v(B) = v(E) : seule compte en l’absence
de frottement la variation d’altitude de M , et la vitesse obtenue est celle d’un mouvement de chute
libre sur la hauteur R.
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