338 Chapitre 12
Approche énergétique
2. Exprimer l’énergie potentielle de M dans la première partie de la chute (la corde n’est pas
tendue). Déterminer alors la vitesse v 0 de M à l’issue de cette première phase.
3. Dans un second temps, la corde se tend. Exprimer alors l’énergie potentielle de M .
4. Déterminer littéralement puis numériquement la hauteur totale de chute H.
5. Que vaut la force élastique lorsque M se trouve en z = H ? Discuter du rôle de k sur cette force
de « choc ». La force de « choc » maximale que peut supporter un corps humain est évaluée à
12 kN. Conclure quant à l’issue de la mésaventure de Peter.
Exercice 12.9 Un pendule électrique
Un pendule est constitué d’une boule de polystyrène expansé recouverte d’une feuille d’aluminium
et suspendue à une potence par une fine tige dont nous négligerons la masse.
•
M
•
•
θ
O
A
R
R
#» g
La boule de masse m = 20 g sera assimilée
à un point matériel noté M . Une boule identique est placée en A. Chargées électriquement,
avec la même charge, les deux boules se repoussent. La force exercée par A sur M s’écrit
#»
F e =
k
(AM ) 3
# »
AM , où k = 4,4 · 10
−3 N · m
2 .
C’est une interaction en 1/r
2 , comme l’interaction gravitationnelle, mais répulsive. La liaison d’axe est supposée sans frottement et nous
ne tenons pas compte d’éventuels frottements
fluides. La longueur du pendule est R = 10 cm.
1. Exprimer la distance AM en fonction de R et θ.
2. Montrer que la force
#»
F e est conservative et que l’énergie potentielle dont elle dérive peut
s’écrire : E pe (θ) =
k
R
5 − 4 cos(θ)
.
3. Exprimer l’énergie potentielle E p (θ) de la boule M .
4. Le tracé de l’énergie potentielle est proposé sur la figure ci-dessous à gauche. Déduire de ce
graphe l’existence de positions d’équilibre, et la nature stable ou instable de ces positions.
−3
−2
−1
0
1
2
3
θ (rad)
0.030
0.035
0.040
0.045
0.050
0.055
0.060
E
p (J)
−3
−2
−1
0
1
2
3
θ (rad)
−15
−10
−5
0
5
10
15
˙
θ (rad
· s
−1
)
partagelivrescpge.blogspot.com
Approche énergétique
2. Exprimer l’énergie potentielle de M dans la première partie de la chute (la corde n’est pas
tendue). Déterminer alors la vitesse v 0 de M à l’issue de cette première phase.
3. Dans un second temps, la corde se tend. Exprimer alors l’énergie potentielle de M .
4. Déterminer littéralement puis numériquement la hauteur totale de chute H.
5. Que vaut la force élastique lorsque M se trouve en z = H ? Discuter du rôle de k sur cette force
de « choc ». La force de « choc » maximale que peut supporter un corps humain est évaluée à
12 kN. Conclure quant à l’issue de la mésaventure de Peter.
Exercice 12.9 Un pendule électrique
Un pendule est constitué d’une boule de polystyrène expansé recouverte d’une feuille d’aluminium
et suspendue à une potence par une fine tige dont nous négligerons la masse.
•
M
•
•
θ
O
A
R
R
#» g
La boule de masse m = 20 g sera assimilée
à un point matériel noté M . Une boule identique est placée en A. Chargées électriquement,
avec la même charge, les deux boules se repoussent. La force exercée par A sur M s’écrit
#»
F e =
k
(AM ) 3
# »
AM , où k = 4,4 · 10
−3 N · m
2 .
C’est une interaction en 1/r
2 , comme l’interaction gravitationnelle, mais répulsive. La liaison d’axe est supposée sans frottement et nous
ne tenons pas compte d’éventuels frottements
fluides. La longueur du pendule est R = 10 cm.
1. Exprimer la distance AM en fonction de R et θ.
2. Montrer que la force
#»
F e est conservative et que l’énergie potentielle dont elle dérive peut
s’écrire : E pe (θ) =
k
R
5 − 4 cos(θ)
.
3. Exprimer l’énergie potentielle E p (θ) de la boule M .
4. Le tracé de l’énergie potentielle est proposé sur la figure ci-dessous à gauche. Déduire de ce
graphe l’existence de positions d’équilibre, et la nature stable ou instable de ces positions.
−3
−2
−1
0
1
2
3
θ (rad)
0.030
0.035
0.040
0.045
0.050
0.055
0.060
E
p (J)
−3
−2
−1
0
1
2
3
θ (rad)
−15
−10
−5
0
5
10
15
˙
θ (rad
· s
−1
)
partagelivrescpge.blogspot.com