32 Chapitre 2
Propagation et superposition des signaux
Comment mesurer le déphasage lié à la propagation de l’onde sonore ?
Nous pouvons déduire les expressions des signaux s 1 (t) et s 2 (t) reçus par les deux microphones des
courbes de la figure 2.15 en utilisant la méthode 1.1 du chapitre 1.
• Signal s 1 (t) = S 1 cos(ωt + ϕ 1 ) :
Nous pouvons lire S 1 = 1,13 V et s 1 (0) = S 1 cos(ϕ 1 ) = 0, avec une pente positive en t = 0.
D’où : ϕ 1 = −π/2 = −1,6 rad.
• Signal s 2 (t) = S 2 cos(ωt + ϕ 2 ) :
Nous pouvons lire S 2 = 0,23 V et s 2 (0) = S 2 cos(ϕ 2 ) = −0,22 V, avec une pente positive en
t = 0. D’où : ϕ 2 = − arccos (−0, 22/0, 23) = −2,9 rad.
Le déphasage entre les deux signaux est donc égal à Δϕ 2/1 = ϕ 2 − ϕ 1 = −2,9 − (−1,6) = −1,3 rad.
Nous pouvons retrouver ce déphasage à partir des courbes de la figure 2.15 par la mesure du retard
temporel τ =
d 2 − d 1
c
du signal s 2 (t) sur le signal s 1 (t) .
En effet, s 1 (t) et s 2 (t) sont les images des variations temporelles au niveau des microphones M 1 et
M 2 du signal sonore qui se propage depuis le haut parleur :
s 1 (t) = K 1 s(d 1 , t) = S 1 cos(ωt − kd 1 + ϕ 0 ) et s 2 (t) = K 2 s(d 2 , t) = S 2 cos(ωt − kd 2 + ϕ 0 ).
Les amplitudes des deux signaux sont différentes car elles diminuent au cours de la propagation.
D’où : s 2 (t) = S 2 cos(ωt − k(d 2 − d 1 ) − kd 1 + ϕ 0 ) = S 2 cos
ωt − kd 1 + ϕ 0 −
ω
c
(d 2 − d 1 )
.
Nous en déduisons le déphasage de s 2 (t) sur s 1 (t) : Δϕ 2/1 = −
ω
c
(d 2 − d 1 ). Puis en introduisant le
retard temporel τ =
d 2 − d 1
c
, Δϕ 2/1 = −ωτ = −2π
τ
T
= −2πf τ .
Sur la figure 2.15 nous lisons τ = 1,12 · 10
−3 s, ce qui conduit à Δϕ 2/1 = −1,4 rad. Ce résultat est
en accord avec le précédent, aux incertitudes près.
Cette seconde méthode, reposant sur la mesure d’un retard temporel, est souvent utilisée pour
déterminer expérimentalement le déphasage entre deux signaux sinusoïdaux de même fréquence,
notamment à l’aide d’un oscilloscope.
Soient les signaux sinusoïdaux :
s 1 (t) = S 1 cos(ωt + ϕ 1 )
s 2 (t) = S 2 cos(ωt + ϕ 2 )
Le déphasage du signal s 2 (t) sur le signal s 1 (t)
est défini par :
Δϕ 2/1 = ϕ 2 − ϕ 1
t
s 1 (t), s 2 (t)
O
•
•
•
•
T
τ
s 1 (t)
s 2 (t)
Figure 2.16. détermination d’un déphasage.
partagelivrescpge.blogspot.com
Propagation et superposition des signaux
Comment mesurer le déphasage lié à la propagation de l’onde sonore ?
Nous pouvons déduire les expressions des signaux s 1 (t) et s 2 (t) reçus par les deux microphones des
courbes de la figure 2.15 en utilisant la méthode 1.1 du chapitre 1.
• Signal s 1 (t) = S 1 cos(ωt + ϕ 1 ) :
Nous pouvons lire S 1 = 1,13 V et s 1 (0) = S 1 cos(ϕ 1 ) = 0, avec une pente positive en t = 0.
D’où : ϕ 1 = −π/2 = −1,6 rad.
• Signal s 2 (t) = S 2 cos(ωt + ϕ 2 ) :
Nous pouvons lire S 2 = 0,23 V et s 2 (0) = S 2 cos(ϕ 2 ) = −0,22 V, avec une pente positive en
t = 0. D’où : ϕ 2 = − arccos (−0, 22/0, 23) = −2,9 rad.
Le déphasage entre les deux signaux est donc égal à Δϕ 2/1 = ϕ 2 − ϕ 1 = −2,9 − (−1,6) = −1,3 rad.
Nous pouvons retrouver ce déphasage à partir des courbes de la figure 2.15 par la mesure du retard
temporel τ =
d 2 − d 1
c
du signal s 2 (t) sur le signal s 1 (t) .
En effet, s 1 (t) et s 2 (t) sont les images des variations temporelles au niveau des microphones M 1 et
M 2 du signal sonore qui se propage depuis le haut parleur :
s 1 (t) = K 1 s(d 1 , t) = S 1 cos(ωt − kd 1 + ϕ 0 ) et s 2 (t) = K 2 s(d 2 , t) = S 2 cos(ωt − kd 2 + ϕ 0 ).
Les amplitudes des deux signaux sont différentes car elles diminuent au cours de la propagation.
D’où : s 2 (t) = S 2 cos(ωt − k(d 2 − d 1 ) − kd 1 + ϕ 0 ) = S 2 cos
ωt − kd 1 + ϕ 0 −
ω
c
(d 2 − d 1 )
.
Nous en déduisons le déphasage de s 2 (t) sur s 1 (t) : Δϕ 2/1 = −
ω
c
(d 2 − d 1 ). Puis en introduisant le
retard temporel τ =
d 2 − d 1
c
, Δϕ 2/1 = −ωτ = −2π
τ
T
= −2πf τ .
Sur la figure 2.15 nous lisons τ = 1,12 · 10
−3 s, ce qui conduit à Δϕ 2/1 = −1,4 rad. Ce résultat est
en accord avec le précédent, aux incertitudes près.
Cette seconde méthode, reposant sur la mesure d’un retard temporel, est souvent utilisée pour
déterminer expérimentalement le déphasage entre deux signaux sinusoïdaux de même fréquence,
notamment à l’aide d’un oscilloscope.
Soient les signaux sinusoïdaux :
s 1 (t) = S 1 cos(ωt + ϕ 1 )
s 2 (t) = S 2 cos(ωt + ϕ 2 )
Le déphasage du signal s 2 (t) sur le signal s 1 (t)
est défini par :
Δϕ 2/1 = ϕ 2 − ϕ 1
t
s 1 (t), s 2 (t)
O
•
•
•
•
T
τ
s 1 (t)
s 2 (t)
Figure 2.16. détermination d’un déphasage.
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