Exercices 335
Exercice 12.3 Le côté conservatif de la Force
Méthode (12.3)
L’enseignement de maître Yoda impose une maîtrise totale de la Force.
L’apprenti assimilé à un point M , soumis à la force
#»
F , doit parcourir deux chemins (a) et (b) et
déterminer si
#»
F est conservative. M est repéré par ses coordonnées polaires r et θ.
A
C
B
(a)
(b)
θ
#» u r
#» u θ
M •
r
Le chemin (a) est un arc de cercle de rayon R
tandis que le chemin (b) est constitué de deux
segments de droite AC et CB de longueur R.
Les deux chemins sont issus de A et mènent à
B.
La force
#»
F s’écrit
#»
F = r
2 d
2 #» u θ en coordonnées
polaires, où d est une constante.
1. Déterminer le travail W de la force
#»
F pour les deux chemins envisagés. Conclure quant au
caractère conservatif de
#»
F .
2. Réitérer avec la force
#»
F
= r
2 d
2 #» u r .
3. Déterminer l’énergie potentielle dont dérive la force envisagée qui est conservative. On pourra
par exemple utiliser un déplacement élémentaire sur le chemin CB.
Exercice 12.4 L’Arène des neiges
Méthode (12.4)
En vacances à Villar d’Arène, Olaf s’adonne aux joies de la luge sur diverses pentes enneigées.
•
•
•
•
θ
M
A
B
C
•
Piste (a)
•
•
•
α
R
x
y
Dz
E
M
Piste (b)
L’équipage constitué par Olaf et sa luge est ici assimilé à un point M de masse m glissant sans
frottement sur les pistes (a) ou (b) représentées sur la figure ci-dessus. La piste (a) est constituée
d’un arc de cercle de rayon R = 20 m entre A et B puis d’une partie horizontale de longueur R
entre B et C. Entre A et B, M est repéré par l’angle θ. La piste (b) est rectiligne, de pente α = 20°
entre D et E. M est repéré par son abscisse x. Olaf s’élance de A ou de D sans vitesse initiale.
L’accélération de la pesanteur est g = 9,8 m · s
−2 .
1. Faire dans chaque cas un bilan des forces exercées sur M . Justifier le caractère conservatif du
mouvement.
© Dunod. Toute reproduction non autorisée est un délit.
partagelivrescpge.blogspot.com
Exercice 12.3 Le côté conservatif de la Force
Méthode (12.3)
L’enseignement de maître Yoda impose une maîtrise totale de la Force.
L’apprenti assimilé à un point M , soumis à la force
#»
F , doit parcourir deux chemins (a) et (b) et
déterminer si
#»
F est conservative. M est repéré par ses coordonnées polaires r et θ.
A
C
B
(a)
(b)
θ
#» u r
#» u θ
M •
r
Le chemin (a) est un arc de cercle de rayon R
tandis que le chemin (b) est constitué de deux
segments de droite AC et CB de longueur R.
Les deux chemins sont issus de A et mènent à
B.
La force
#»
F s’écrit
#»
F = r
2 d
2 #» u θ en coordonnées
polaires, où d est une constante.
1. Déterminer le travail W de la force
#»
F pour les deux chemins envisagés. Conclure quant au
caractère conservatif de
#»
F .
2. Réitérer avec la force
#»
F
= r
2 d
2 #» u r .
3. Déterminer l’énergie potentielle dont dérive la force envisagée qui est conservative. On pourra
par exemple utiliser un déplacement élémentaire sur le chemin CB.
Exercice 12.4 L’Arène des neiges
Méthode (12.4)
En vacances à Villar d’Arène, Olaf s’adonne aux joies de la luge sur diverses pentes enneigées.
•
•
•
•
θ
M
A
B
C
•
Piste (a)
•
•
•
α
R
x
y
Dz
E
M
Piste (b)
L’équipage constitué par Olaf et sa luge est ici assimilé à un point M de masse m glissant sans
frottement sur les pistes (a) ou (b) représentées sur la figure ci-dessus. La piste (a) est constituée
d’un arc de cercle de rayon R = 20 m entre A et B puis d’une partie horizontale de longueur R
entre B et C. Entre A et B, M est repéré par l’angle θ. La piste (b) est rectiligne, de pente α = 20°
entre D et E. M est repéré par son abscisse x. Olaf s’élance de A ou de D sans vitesse initiale.
L’accélération de la pesanteur est g = 9,8 m · s
−2 .
1. Faire dans chaque cas un bilan des forces exercées sur M . Justifier le caractère conservatif du
mouvement.
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