L’essentiel du cours 331
0
5
10
15
20
25
t (s)
−150
−100
−50
0
50
100
150
θ (deg)
Figure 12.12. θ(t) pour Em = Em2.
0.0
0.5
1.0
1.5
2.0
2.5
f (Hz)
0
20
40
60
80
100
120
140
160
An (deg)
Figure 12.13. Spectre pour Em = Em2.
Comment se manifestent les effets non linéaires sur le portrait de phase ?
L’intégrale première du mouvement peut s’écrire :
1
2
ml
2 ˙
θ
2 + E p = E m avec E p = −mgl cos(θ).
Un développement de Taylor à l’ordre deux au voisinage de la position d’équilibre stable θ = 0
fournit une expression approchée de E p dans le cadre de l’hypothèse harmonique :
E p (θ) E p (0) +
dE p
dθ
(0)
θ +
1
2
d
2 E p
dθ 2 (0)
θ
2 = −mgl +
1
2
mglθ
2
Dans ces conditions, l’intégrale première est de la forme :
1
2
ml
2 ˙
θ
2
− mgl +
1
2
mglθ
2 =
1
2
ml
2 ˙
θ
2 (0) − mgl +
1
2
mglθ
2 (0)
Soit, en posant ω
2 = g/l et après simplification : ˙
θ
2 + ω
2 θ
2 = ˙
θ
2 (0) + ω
2 θ
2 (0). Ce qui peut s’écrire :
˙
θ
2 + ω
2 θ
2 = C avec C = ˙
θ(0)
2 + ω
2 θ
2 (0)
Nous obtenons l’équation de la trajectoire de
phase dans le cadre de l’approximation harmonique. C’est celle d’une ellipse.
Sur la figure 12.14 nous présentons les trajectoires de phase correspondant aux valeurs E m1
et E m2 de E m . Nous constatons que celle correspondant à E m1 a bien l’allure d’une ellipse,
ce qui confirme la validité de l’hypothèse harmonique dans ce cas. Par contre celle correspondant à E m2 est trop déformée pour être assimilée à une ellipse. Nous voyons là la manifestation sur le portrait de phase des effets non
linéaires.
−150
−100
−50
0
50
100
150
(deg)
−15
−10
−5
0
5
10
15
(rad
· s
−1
)
Em1
Em2
θ
˙
θ
Figure 12.14. Portrait de phase.
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