330 Chapitre 12
Approche énergétique
Quelles sont les positions d’équilibre du pendule simple rigide ?
De l’expression de E p (θ) nous déduisons :
dE p
dθ
= mgl sin(θ) et
d
2 E p
dθ 2 = mgl cos(θ). D’où :
•
dE p
dθ
= 0 pour θ = 0 et θ = π ;
•
d
2 E p
dθ 2 (0) = mgl > 0 ;
•
d
2 E p
dθ 2 (π) = −mgl < 0.
Nous en déduisons que la position d’équilibre
θ eq1 = 0 est stable et que la position θ eq2 = π
est instable.
−180 −150 −120 −90 −60 −30
0
30
60
90
120 150 180
θ (deg)
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
EP (θ)
Em1
Em2
Figure 12.9. Énergie potentielle.
Comment se manifestent les effets non linéaires sur l’équation horaire ?
En dehors de l’approximation harmonique, l’équation du mouvement est une équation non linéaire
dont la résolution analytique est impossible. Une résolution numérique est alors nécessaire pour
déterminer l’équation horaire. C’est ce que nous avons fait à l’aide de Python, pour deux valeurs
de l’énergie mécanique : E m1 et E m2 .
Pour chacune de ces valeurs nous avons tracé la courbe θ(t) et le spectre de θ(t). Les résultats sont
présentés figures 12.10 et 12.11 pour E m = E m1 , figures 12.12 et 12.13 pour E m = E m2 .
Pour E m = E m1 l’amplitude est égale à 30° (figure 12.9). Le spectre ne comporte que l’harmonique
fondamental. L’amplitude est suffisamment faible pour que l’hypothèse harmonique soit faite.
Pour E m = E m2 , l’amplitude est égale à 150° (figure 12.9). Le spectre comporte deux harmoniques,
le fondamental et l’harmonique de rang 3. Ce dernier est une manifestation des effets non linéaires.
L’amplitude n’est pas suffisamment faible pour que l’hypothèse harmonique soit faite.
0
2
4
6
8
10
12
14
t (s)
−40
−30
−20
−10
0
10
20
30
40
θ (deg)
Figure 12.10. θ(t) pour Em = Em1.
0.0
0.5
1.0
1.5
2.0
2.5
f (Hz)
0
5
10
15
20
25
30
35
40
An (deg)
Figure 12.11. Spectre pour Em = Em1.
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