L’essentiel du cours 329
limité de celle-ci, au deuxième ordre, au voisinage de x = x eq . La formule de Taylor conduit à :
E p (x) = E p (x eq ) +
dE p
dx
(x eq )
(x − x eq ) +
1
2
d
2 E p
dx 2 (x eq )
(x − x eq )
2 + ◦
(x − x eq )
2
dE p
dx
(x eq ) = 0 et
d
2 E p
dx 2 (x eq ) = k > 0 permettent alors de poser, au deuxième ordre :
E p (x) E p (x eq ) +
1
2
k (x − x eq )
2
avec k > 0
Dans ces conditions, l’intégrale première du mouvement s’écrit :
(12.3)
1
2
m ˙
x
2 + E p (x eq ) +
1
2
k (x − x eq )
2 = E m (0)
En dérivant cette équation 12.3 : m ˙
x¨ x + k(x − x eq ) ˙
x = 0 et après simplification par ˙
x ( = 0) :
(12.4)
m¨ x + kx = kx eq
Nous reconnaissons l’équation du mouvement d’une masse m accrochée à un ressort de constante
de raideur k soit l’équation d’un oscillateur harmonique de pulsation propre ω 0 =
k/m autour
de la position d’équilibre x eq , introduite au chapitre 1.
Ainsi, un système effectuant de petits mouvements autour d’une position d’équilibre
stable se comporte comme un oscillateur harmonique, en première approximation. Il effectue des oscillations sinusoïdales autour de sa position d’équilibre stable.
Remplacer la fonction énergie potentielle du
système par son développement limité au
deuxième ordre autour de sa position d’équilibre stable revient à remplacer, localement
au niveau de celle-ci, l’énergie potentielle
réelle du système par celle d’un oscillateur
harmonique qui est de forme parabolique.
Cette modélisation du système réel limité
aux mouvements de faibles amplitudes porte
le nom d’approximation harmonique.
x
E p
O
x eq
Figure 12.8. Puits de potentiel réel et
puits de potentiel harmonique.
7 Effets non linéaires – Approche numérique
Lorsqu’un système effectue des oscillations d’amplitudes trop importantes autour d’une position
d’équilibre stable, l’approximation harmonique n’est plus possible. Une approche numérique permet
alors de mettre en évidence l’apparition de phénomènes non linéaires.
À titre d’exemple, reprenons le cas du pendule simple représenté figure 12.2. Afin qu’il reste indéformable même dans le cas d’un mouvement de forte amplitude, nous supposerons que le fil a
été remplacé par une barre rigide de masse très faible devant la masse m du solide, de dimensions
négligeables, fixé à son extrémité.
Rappelons ce que nous avons déjà établi concernant le pendule simple :
• son équation du mouvement : l ¨
θ + g sin(θ) = 0 (équation 12.2) ;
• son énergie potentielle : E p (θ) = −mgl cos(θ) ;
• son intégrale première :
1
2
ml
2 ˙
θ
2
− mgl cos(θ) =
1
2
ml
2 ˙
θ(0)
2
− mgl cos(θ(0)) (équation 12.1).
© Dunod. Toute reproduction non autorisée est un délit.
partagelivrescpge.blogspot.com
limité de celle-ci, au deuxième ordre, au voisinage de x = x eq . La formule de Taylor conduit à :
E p (x) = E p (x eq ) +
dE p
dx
(x eq )
(x − x eq ) +
1
2
d
2 E p
dx 2 (x eq )
(x − x eq )
2 + ◦
(x − x eq )
2
dE p
dx
(x eq ) = 0 et
d
2 E p
dx 2 (x eq ) = k > 0 permettent alors de poser, au deuxième ordre :
E p (x) E p (x eq ) +
1
2
k (x − x eq )
2
avec k > 0
Dans ces conditions, l’intégrale première du mouvement s’écrit :
(12.3)
1
2
m ˙
x
2 + E p (x eq ) +
1
2
k (x − x eq )
2 = E m (0)
En dérivant cette équation 12.3 : m ˙
x¨ x + k(x − x eq ) ˙
x = 0 et après simplification par ˙
x ( = 0) :
(12.4)
m¨ x + kx = kx eq
Nous reconnaissons l’équation du mouvement d’une masse m accrochée à un ressort de constante
de raideur k soit l’équation d’un oscillateur harmonique de pulsation propre ω 0 =
k/m autour
de la position d’équilibre x eq , introduite au chapitre 1.
Ainsi, un système effectuant de petits mouvements autour d’une position d’équilibre
stable se comporte comme un oscillateur harmonique, en première approximation. Il effectue des oscillations sinusoïdales autour de sa position d’équilibre stable.
Remplacer la fonction énergie potentielle du
système par son développement limité au
deuxième ordre autour de sa position d’équilibre stable revient à remplacer, localement
au niveau de celle-ci, l’énergie potentielle
réelle du système par celle d’un oscillateur
harmonique qui est de forme parabolique.
Cette modélisation du système réel limité
aux mouvements de faibles amplitudes porte
le nom d’approximation harmonique.
x
E p
O
x eq
Figure 12.8. Puits de potentiel réel et
puits de potentiel harmonique.
7 Effets non linéaires – Approche numérique
Lorsqu’un système effectue des oscillations d’amplitudes trop importantes autour d’une position
d’équilibre stable, l’approximation harmonique n’est plus possible. Une approche numérique permet
alors de mettre en évidence l’apparition de phénomènes non linéaires.
À titre d’exemple, reprenons le cas du pendule simple représenté figure 12.2. Afin qu’il reste indéformable même dans le cas d’un mouvement de forte amplitude, nous supposerons que le fil a
été remplacé par une barre rigide de masse très faible devant la masse m du solide, de dimensions
négligeables, fixé à son extrémité.
Rappelons ce que nous avons déjà établi concernant le pendule simple :
• son équation du mouvement : l ¨
θ + g sin(θ) = 0 (équation 12.2) ;
• son énergie potentielle : E p (θ) = −mgl cos(θ) ;
• son intégrale première :
1
2
ml
2 ˙
θ
2
− mgl cos(θ) =
1
2
ml
2 ˙
θ(0)
2
− mgl cos(θ(0)) (équation 12.1).
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