L’essentiel du cours 327
• x 0 ≥ x 5
— Si ˙
x 0 > 0, le point M part dans le sens des x croissants, son énergie potentielle diminue
et tend vers 0, son énergie cinétique croît et tend vers E m . Sa vitesse ne s’annule jamais.
Il part à l’infini.
— Si ˙
x 0 < 0, le point M part dans le sens des x décroissants, son énergie potentielle
augmente, son énergie cinétique diminue jusqu’à s’annuler en x = x 5 . Il s’arrête dans
cette position qui n’est pas une position d’équilibre et donc redémarre aussitôt dans le
sens positif pour ne plus revenir et partir à l’infini, comme précédemment.
Ainsi, quelque soit le signe de ˙
x 0 , le point M fini toujours par partir à l’infini. La trajectoire
n’est pas bornée. On dit que le système est dans un état de diffusion.
On remarque qu’en fonction des conditions initiales, le mouvement se fait soit dans la région définie
par x ∈ [x 3 ; x 4 ], soit dans celle définie par x ∈ [x 5 ; +∞[. Le point M ne peut pas passer d’une
région à l’autre. On dit que ces deux régions sont séparées par une barrière de potentiel.
4
e cas : E m = E m4
— Si x 0 = x eq2 , alors initialement E p = E m4 et E c = 0. Cela correspond au cas où M est
déposé sans vitesse dans sa position d’équilibre instable. Il y reste donc tant qu’une petite
perturbation ne vient pas le déstabiliser.
— Si x 0 > x eq2 et ˙
x 0 > 0 le point M part à l’infini.
— Dans tous les autres cas il finit par s’immobiliser dans sa position d’équilibre instable dans
laquelle il reste tant qu’une petite perturbation ne vient pas le déstabiliser.
5
e cas : E m = E m5
La valeur E m5 de E m est supérieure à la hauteur E m4 de la barrière de potentiel. On dit que la
barrière de potentiel a été « effacée ». Le point M se trouve à nouveau dans un état de diffusion.
Il finit toujours par partir à l’infini. Si ˙
x 0 > 0, il y part directement. Si ˙
x 0 < 0, il débute son
mouvement dans le sens négatif, s’arrête au point d’abscisse définie par E p (x) = E m5 et redémarre
dans le sens positif pour partir à l’infini.
Comment ces différents cas se retrouvent-ils sur un portrait de phase ?
De l’équation de la conservation de l’énergie mécanique nous déduisons une expression de ˙
x :
E c =
1
2
mv
2 = E m − E p (x) =⇒ ˙
x = ±
2
m
(E m − E p )
Nous avons représenté figure 12.7 les trajectoires de phase ˙
x = f (x) correspondant aux différentes
valeurs E mi de E m considérées précédemment.
© Dunod. Toute reproduction non autorisée est un délit.
partagelivrescpge.blogspot.com
• x 0 ≥ x 5
— Si ˙
x 0 > 0, le point M part dans le sens des x croissants, son énergie potentielle diminue
et tend vers 0, son énergie cinétique croît et tend vers E m . Sa vitesse ne s’annule jamais.
Il part à l’infini.
— Si ˙
x 0 < 0, le point M part dans le sens des x décroissants, son énergie potentielle
augmente, son énergie cinétique diminue jusqu’à s’annuler en x = x 5 . Il s’arrête dans
cette position qui n’est pas une position d’équilibre et donc redémarre aussitôt dans le
sens positif pour ne plus revenir et partir à l’infini, comme précédemment.
Ainsi, quelque soit le signe de ˙
x 0 , le point M fini toujours par partir à l’infini. La trajectoire
n’est pas bornée. On dit que le système est dans un état de diffusion.
On remarque qu’en fonction des conditions initiales, le mouvement se fait soit dans la région définie
par x ∈ [x 3 ; x 4 ], soit dans celle définie par x ∈ [x 5 ; +∞[. Le point M ne peut pas passer d’une
région à l’autre. On dit que ces deux régions sont séparées par une barrière de potentiel.
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e cas : E m = E m4
— Si x 0 = x eq2 , alors initialement E p = E m4 et E c = 0. Cela correspond au cas où M est
déposé sans vitesse dans sa position d’équilibre instable. Il y reste donc tant qu’une petite
perturbation ne vient pas le déstabiliser.
— Si x 0 > x eq2 et ˙
x 0 > 0 le point M part à l’infini.
— Dans tous les autres cas il finit par s’immobiliser dans sa position d’équilibre instable dans
laquelle il reste tant qu’une petite perturbation ne vient pas le déstabiliser.
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e cas : E m = E m5
La valeur E m5 de E m est supérieure à la hauteur E m4 de la barrière de potentiel. On dit que la
barrière de potentiel a été « effacée ». Le point M se trouve à nouveau dans un état de diffusion.
Il finit toujours par partir à l’infini. Si ˙
x 0 > 0, il y part directement. Si ˙
x 0 < 0, il débute son
mouvement dans le sens négatif, s’arrête au point d’abscisse définie par E p (x) = E m5 et redémarre
dans le sens positif pour partir à l’infini.
Comment ces différents cas se retrouvent-ils sur un portrait de phase ?
De l’équation de la conservation de l’énergie mécanique nous déduisons une expression de ˙
x :
E c =
1
2
mv
2 = E m − E p (x) =⇒ ˙
x = ±
2
m
(E m − E p )
Nous avons représenté figure 12.7 les trajectoires de phase ˙
x = f (x) correspondant aux différentes
valeurs E mi de E m considérées précédemment.
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