326 Chapitre 12
Approche énergétique
Le paramètre de position, noté x ci-dessus, peut être une coordonnée cartésienne
(x, y, z) ou un angle (θ).
Comment étudier qualitativement le mouvement d’un système conservatif à une
dimension à l’aide du graphe de son énergie potentielle ?
À titre d’exemple reprenons le cas d’un point matériel M se déplaçant selon un axe (Ox) et
supposons que le graphe de son énergie potentielle soit celui représenté figure 12.6.
La conservation de l’énergie mécanique conduit à E c + E p = E m où E m est une constante dont
la valeur dépend des conditions initiales. De E c =
1
2
mv
2
≥ 0 nous déduisons E p ≤ E m . Cette
inégalité permet de déterminer les valeurs de x accessibles au système.
Nous allons envisager différentes situations, en fonction de la valeur de E m (figure 12.6). Nous
noterons x 0 et ˙
x 0 les valeurs initiales de x et ˙
x.
1.0
1.5
2.0
2.5
3.0
3.5
4.0
4.5
5.0
5.5
x
−1.0
−0.5
0.0
0.5
1.0
1.5
2.0
E
P (x)
E m1
E m2
E m3
E m4
E m5
x 1
x 2
x 3
x 4
x 5
x eq1
x eq2
Figure 12.6. Étude qualitative du mouvement en fonction de la valeur de Em.
1
er cas : E m = E m1
Une seule valeur possible pour x : x eq1 . Nous avons E p = E m1 , d’où E c = 0. Cela correspond au
cas où M est déposé sans vitesse dans sa position d’équilibre stable. Il y reste donc.
2
e cas : E m = E m2
L’inégalité E p ≤ E m2 impose x 1 ≤ x ≤ x 2 . Lorsque x est différent de x 1 ou x 2 , E c est non nulle et
M est en mouvement dans un sens où dans un autre selon le signe de ˙
x. Lorsque x = x 1 ou x = x 2 ,
E c s’annule, M s’immobilise en dehors d’une position d’équilibre et repart immédiatement en sens
inverse. Chaque fois que x = x eq1 , il passe par sa position d’équilibre avec une vitesse maximale et
ne s’y arrête pas. Il fait ainsi perpétuellement des allers et retours entre les points d’abscisses x 1 et
x 2 , de façon périodique autour de la position d’équilibre stable. La trajectoire est bornée. On
dit que le système est dans un état lié. La région de l’espace, autour de la position d’équilibre
stable, dans laquelle le point M est contraint de rester constitue un puits de potentiel.
3
e cas : E m = E m3
Ce cas recouvre deux situations différentes selon la position initiale x 0 du point M .
• x 3 ≤ x 0 ≤ x 4
Cette situation est identique à la précédente. Simplement, E m3 étant supérieure à E m2 ,
l’extension spatiale du mouvement est plus importante.
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Approche énergétique
Le paramètre de position, noté x ci-dessus, peut être une coordonnée cartésienne
(x, y, z) ou un angle (θ).
Comment étudier qualitativement le mouvement d’un système conservatif à une
dimension à l’aide du graphe de son énergie potentielle ?
À titre d’exemple reprenons le cas d’un point matériel M se déplaçant selon un axe (Ox) et
supposons que le graphe de son énergie potentielle soit celui représenté figure 12.6.
La conservation de l’énergie mécanique conduit à E c + E p = E m où E m est une constante dont
la valeur dépend des conditions initiales. De E c =
1
2
mv
2
≥ 0 nous déduisons E p ≤ E m . Cette
inégalité permet de déterminer les valeurs de x accessibles au système.
Nous allons envisager différentes situations, en fonction de la valeur de E m (figure 12.6). Nous
noterons x 0 et ˙
x 0 les valeurs initiales de x et ˙
x.
1.0
1.5
2.0
2.5
3.0
3.5
4.0
4.5
5.0
5.5
x
−1.0
−0.5
0.0
0.5
1.0
1.5
2.0
E
P (x)
E m1
E m2
E m3
E m4
E m5
x 1
x 2
x 3
x 4
x 5
x eq1
x eq2
Figure 12.6. Étude qualitative du mouvement en fonction de la valeur de Em.
1
er cas : E m = E m1
Une seule valeur possible pour x : x eq1 . Nous avons E p = E m1 , d’où E c = 0. Cela correspond au
cas où M est déposé sans vitesse dans sa position d’équilibre stable. Il y reste donc.
2
e cas : E m = E m2
L’inégalité E p ≤ E m2 impose x 1 ≤ x ≤ x 2 . Lorsque x est différent de x 1 ou x 2 , E c est non nulle et
M est en mouvement dans un sens où dans un autre selon le signe de ˙
x. Lorsque x = x 1 ou x = x 2 ,
E c s’annule, M s’immobilise en dehors d’une position d’équilibre et repart immédiatement en sens
inverse. Chaque fois que x = x eq1 , il passe par sa position d’équilibre avec une vitesse maximale et
ne s’y arrête pas. Il fait ainsi perpétuellement des allers et retours entre les points d’abscisses x 1 et
x 2 , de façon périodique autour de la position d’équilibre stable. La trajectoire est bornée. On
dit que le système est dans un état lié. La région de l’espace, autour de la position d’équilibre
stable, dans laquelle le point M est contraint de rester constitue un puits de potentiel.
3
e cas : E m = E m3
Ce cas recouvre deux situations différentes selon la position initiale x 0 du point M .
• x 3 ≤ x 0 ≤ x 4
Cette situation est identique à la précédente. Simplement, E m3 étant supérieure à E m2 ,
l’extension spatiale du mouvement est plus importante.
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