L’essentiel du cours 325
Comment déterminer les positions d’équilibre d’un système conservatif ?
Calculons le travail élémentaire de la résultante des forces conservatives et relions-le à l’énergie
potentielle du point matériel : δW (
#»
F ) =
#»
F ·
#»
dl = F x
#» u x ·dx #» u x = F x dx = −dE p . D’où : F x = −
dE p
dx
.
Une position d’équilibre, définie par #» a (M ) =
#»
0 selon la loi de la quantité de mouvement, se
traduit donc pour un système conservatif à une dimension, par :
dE p
dx
(x eq ) = 0. Elle correspond à
un extremum de sa fonction énergie potentielle.
Comment étudier la stabilité d’une position d’équilibre d’un système conservatif ?
Étudions le comportement du système à proximité d’une position d’équilibre. Deux cas peuvent
se présenter.
• La position d’équilibre correspond à un minimum de E p et
d
2 E p
dx 2 (x eq ) > 0.
• La position d’équilibre correspond à un
maximum de E p et
d
2 E p
dx 2 (x eq ) < 0.
x
E p
O
x eq1
x eq2
Figure 12.5. Profil d’énergie potentielle.
Comportement du système autour d’un minimum (x = x eq1 )
Si x < x eq1 alors F x = −
dE p
dx
> 0. Si x > x eq1 alors F x = −
dE p
dx
< 0. Dans les 2 cas, la force
#»
F
tend à ramener le système vers sa position d’équilibre qui est donc stable.
Comportement du système autour d’un maximum (x = x eq2 )
Si x < x eq2 alors F x = −
dE p
dx
< 0. Si x > x eq2 alors F x = −
dE p
dx
> 0. Dans les 2 cas, la force
#»
F
tend à éloigner le système de sa position d’équilibre qui est donc instable.
Ainsi, une position d’équilibre est stable si elle correspond à un minimum, instable si elle correspond
à un maximum.
Pour un système conservatif dont la position ne dépend que d’un paramètre de position x :
• calculer le travail élémentaire δW (
#»
F ) =
#»
F ·
#»
dl de la résultante des forces conservatives
et en déduire l’expression de la dérivée première de l’énergie potentielle :
dE p
dx
;
• rechercher les solutions x = x eq de l’équation
dE p
dx
(x) = 0 ;
• pour chaque position d’équilibre x eq déterminer le signe de
d
2 E p
dx 2 (x eq ) :
— si
d
2 E p
dx 2 (x eq ) > 0 la position d’équilibre est stable (minimum de E p ) ;
— si
d
2 E p
dx 2 (x eq ) < 0 la position d’équilibre est stable (maximum de E p ).
Méthode 12.5 : Étude de l’équilibre d’un système conservatif à une dimension
Exercice (12.5)
© Dunod. Toute reproduction non autorisée est un délit.
partagelivrescpge.blogspot.com
Comment déterminer les positions d’équilibre d’un système conservatif ?
Calculons le travail élémentaire de la résultante des forces conservatives et relions-le à l’énergie
potentielle du point matériel : δW (
#»
F ) =
#»
F ·
#»
dl = F x
#» u x ·dx #» u x = F x dx = −dE p . D’où : F x = −
dE p
dx
.
Une position d’équilibre, définie par #» a (M ) =
#»
0 selon la loi de la quantité de mouvement, se
traduit donc pour un système conservatif à une dimension, par :
dE p
dx
(x eq ) = 0. Elle correspond à
un extremum de sa fonction énergie potentielle.
Comment étudier la stabilité d’une position d’équilibre d’un système conservatif ?
Étudions le comportement du système à proximité d’une position d’équilibre. Deux cas peuvent
se présenter.
• La position d’équilibre correspond à un minimum de E p et
d
2 E p
dx 2 (x eq ) > 0.
• La position d’équilibre correspond à un
maximum de E p et
d
2 E p
dx 2 (x eq ) < 0.
x
E p
O
x eq1
x eq2
Figure 12.5. Profil d’énergie potentielle.
Comportement du système autour d’un minimum (x = x eq1 )
Si x < x eq1 alors F x = −
dE p
dx
> 0. Si x > x eq1 alors F x = −
dE p
dx
< 0. Dans les 2 cas, la force
#»
F
tend à ramener le système vers sa position d’équilibre qui est donc stable.
Comportement du système autour d’un maximum (x = x eq2 )
Si x < x eq2 alors F x = −
dE p
dx
< 0. Si x > x eq2 alors F x = −
dE p
dx
> 0. Dans les 2 cas, la force
#»
F
tend à éloigner le système de sa position d’équilibre qui est donc instable.
Ainsi, une position d’équilibre est stable si elle correspond à un minimum, instable si elle correspond
à un maximum.
Pour un système conservatif dont la position ne dépend que d’un paramètre de position x :
• calculer le travail élémentaire δW (
#»
F ) =
#»
F ·
#»
dl de la résultante des forces conservatives
et en déduire l’expression de la dérivée première de l’énergie potentielle :
dE p
dx
;
• rechercher les solutions x = x eq de l’équation
dE p
dx
(x) = 0 ;
• pour chaque position d’équilibre x eq déterminer le signe de
d
2 E p
dx 2 (x eq ) :
— si
d
2 E p
dx 2 (x eq ) > 0 la position d’équilibre est stable (minimum de E p ) ;
— si
d
2 E p
dx 2 (x eq ) < 0 la position d’équilibre est stable (maximum de E p ).
Méthode 12.5 : Étude de l’équilibre d’un système conservatif à une dimension
Exercice (12.5)
© Dunod. Toute reproduction non autorisée est un délit.
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