324 Chapitre 12
Approche énergétique
Peut-on retrouver l’équation d’un mouvement à partir de son intégrale première ?
Reprenons l’exemple du pendule simple et dérivons par rapport au temps son intégrale première
du mouvement correspondant à l’équation 12.1 :
dE m
dt
=
d
dt
1
2
ml
2 ˙
θ
2
− mgl cos(θ)
= 0. D’où :
1
2
ml
2 2 ˙
θ ¨
θ + mgl ˙
θ sin(θ) = ml ˙
θ
l ¨
θ + g sin(θ)
= 0.
Cette équation étant valable à toute date, nous pouvons simplifier par ml ˙
θ (la fonction ˙
θ(t) n’est
pas identiquement nulle). Nous retrouvons l’équation du mouvement du pendule simple obtenue
par application de la loi de la quantité de mouvement dans le chapitre 11 :
(12.2)
l ¨
θ + g sin(θ) = 0
Ceci se généralise : il est possible d’obtenir l’équation du mouvement d’un système
conservatif en dérivant son intégrale première par rapport au temps.
On peut faire le cheminement inverse qui consiste à intégrer par rapport au temps
l’équation du mouvement d’un système conservatif pour établir son intégrale première.
Pour illustrer cette remarque, reprenons le cas du pendule simple. Multiplions par ˙
θ son équation
du mouvement (équation 12.2) puis intégrons par rapport au temps :
l ¨
θ ˙
θ + g sin(θ) ˙
θ = 0 =⇒
l
2
d ˙
θ
2
dt
− g
d cos(θ)
dt
= 0 =⇒
1
2
ml
2 ˙
θ
2
− mgl cos(θ) = cste
Nous retrouvons bien l’intégrale première du mouvement (équation 12.1), la constante étant calculée à partir des conditions initiales.
5 Mouvement conservatif à une dimension
Dans cette partie nous nous restreignons au cas d’un système conservatif dont la position peutêtre décrite à l’aide d’un seul paramètre de position. Nous nous proposons d’étudier plus
particulièrement ses positions d’équilibre.
À titre d’exemple, nous étudierons le cas d’un point M se déplaçant selon un axe (Ox), repéré par
son vecteur position
# »
OM = x #» u x et soumis à des forces conservatives de résultante
#»
F = F x (x) #» u x .
• Une position d’équilibre d’un système mécanique est une position telle que si on
abandonne sans vitesse le système dans cette position, il y reste.
• La stabilité d’une position d’équilibre se définit en abandonnant le système sans vitesse
au voisinage de cette position :
— si le système se rapproche de sa position d’équilibre, c’est que celle-ci est stable ;
— si le système s’éloigne de sa position d’équilibre, c’est que celle-ci est instable.
Définitions : Position d’équilibre, équilibre stable, équilibre instable
Pour un point matériel M ou un solide en translation de centre de masse G, une position
d’équilibre correspond respectivement à #» a (M ) =
#»
0 et #» a (G) =
#»
0 . Selon la loi de la
quantité de mouvement cela équivaut à une résultante des forces appliquées nulle.
partagelivrescpge.blogspot.com
Approche énergétique
Peut-on retrouver l’équation d’un mouvement à partir de son intégrale première ?
Reprenons l’exemple du pendule simple et dérivons par rapport au temps son intégrale première
du mouvement correspondant à l’équation 12.1 :
dE m
dt
=
d
dt
1
2
ml
2 ˙
θ
2
− mgl cos(θ)
= 0. D’où :
1
2
ml
2 2 ˙
θ ¨
θ + mgl ˙
θ sin(θ) = ml ˙
θ
l ¨
θ + g sin(θ)
= 0.
Cette équation étant valable à toute date, nous pouvons simplifier par ml ˙
θ (la fonction ˙
θ(t) n’est
pas identiquement nulle). Nous retrouvons l’équation du mouvement du pendule simple obtenue
par application de la loi de la quantité de mouvement dans le chapitre 11 :
(12.2)
l ¨
θ + g sin(θ) = 0
Ceci se généralise : il est possible d’obtenir l’équation du mouvement d’un système
conservatif en dérivant son intégrale première par rapport au temps.
On peut faire le cheminement inverse qui consiste à intégrer par rapport au temps
l’équation du mouvement d’un système conservatif pour établir son intégrale première.
Pour illustrer cette remarque, reprenons le cas du pendule simple. Multiplions par ˙
θ son équation
du mouvement (équation 12.2) puis intégrons par rapport au temps :
l ¨
θ ˙
θ + g sin(θ) ˙
θ = 0 =⇒
l
2
d ˙
θ
2
dt
− g
d cos(θ)
dt
= 0 =⇒
1
2
ml
2 ˙
θ
2
− mgl cos(θ) = cste
Nous retrouvons bien l’intégrale première du mouvement (équation 12.1), la constante étant calculée à partir des conditions initiales.
5 Mouvement conservatif à une dimension
Dans cette partie nous nous restreignons au cas d’un système conservatif dont la position peutêtre décrite à l’aide d’un seul paramètre de position. Nous nous proposons d’étudier plus
particulièrement ses positions d’équilibre.
À titre d’exemple, nous étudierons le cas d’un point M se déplaçant selon un axe (Ox), repéré par
son vecteur position
# »
OM = x #» u x et soumis à des forces conservatives de résultante
#»
F = F x (x) #» u x .
• Une position d’équilibre d’un système mécanique est une position telle que si on
abandonne sans vitesse le système dans cette position, il y reste.
• La stabilité d’une position d’équilibre se définit en abandonnant le système sans vitesse
au voisinage de cette position :
— si le système se rapproche de sa position d’équilibre, c’est que celle-ci est stable ;
— si le système s’éloigne de sa position d’équilibre, c’est que celle-ci est instable.
Définitions : Position d’équilibre, équilibre stable, équilibre instable
Pour un point matériel M ou un solide en translation de centre de masse G, une position
d’équilibre correspond respectivement à #» a (M ) =
#»
0 et #» a (G) =
#»
0 . Selon la loi de la
quantité de mouvement cela équivaut à une résultante des forces appliquées nulle.
partagelivrescpge.blogspot.com