L’essentiel du cours 323
seule force qui travaille est le poids. C’est une force conservative, il est donc logique que l’énergie
mécanique du ballon se conserve lors du mouvement.
Pour le volant de badminton : les forces qui travaillent sont le poids et la force de frottement de
l’air. Cette dernière est non conservative. Son travail est négatif puisqu’elle est de sens opposé au
vecteur vitesse. Il est donc logique que l’énergie mécanique du volant diminue lors du mouvement.
Comment obtenir une équation différentielle à partir de la loi de l’énergie mécanique pour un système conservatif ?
Pour répondre à cette question envisageons le cas du pendule simple de la figure 12.2. Nous supposerons que M est lancé avec la vitesse #» v 0 = v(0) #» u θ = l ˙
θ(0) #» u θ depuis l’angle θ(0) et que le fil
reste tendu au cours du mouvement.
Dans le référentiel terrestre R supposé galiléen, auquel nous associons le repère (O, #» u x , #» u y ) (voir
figure 12.2), le point M est soumis à :
• son poids
#»
P = m #» g = mg #» u x , force conservative qui dérive de l’énergie potentielle de pesanteur : E pp = −mgx, en choisissant l’origine de E pp en x = 0 (attention ici l’axe vertical Ox
est descendant) ;
• la tension du fil
#»
T = −T #» u r , qui ne travaille pas.
Exprimons l’énergie cinétique et l’énergie potentielle de M à une date quelconque :
• E c =
1
2
mv
2 =
1
2
ml
2 ˙
θ
2
avec à t = 0 : E c =
1
2
ml
2 ˙
θ(0)
2 ;
• E p = −mgx = −mgl cos(θ) avec à t = 0 : E p = −mgl cos(θ(0)).
En écrivant que l’énergie mécanique est une constante du mouvement nous obtenons :
(12.1)
1
2
ml
2 ˙
θ
2
− mgl cos(θ) =
1
2
ml
2 ˙
θ(0)
2
− mgl cos(θ(0))
Cette équation différentielle du premier ordre est appelée intégrale première du mouvement du pendule.
L’intégrale première du mouvement d’un système conservatif est l’équation différentielle
du premier ordre obtenue en écrivant que son énergie mécanique à une date t quelconque
est égale à son énergie mécanique initiale.
Définition : Intégrale première du mouvement d’un système conservatif
Dans un référentiel galiléen et pour un système conservatif :
• exprimer l’énergie cinétique du système en fonction des dérivées temporelles des variables de position, à une date t quelconque et à la date t = 0 ;
• exprimer l’énergie potentielle du système en fonction des variables de position, à une
date t quelconque et à la date t = 0 ;
• traduire la conservation de l’énergie mécanique en écrivant que l’énergie mécanique à
une date t quelconque est égale à sa valeur à t = 0.
Méthode 12.4 : Détermination de l’intégrale première du mouvement
Exercice (12.4)
© Dunod. Toute reproduction non autorisée est un délit.
partagelivrescpge.blogspot.com
seule force qui travaille est le poids. C’est une force conservative, il est donc logique que l’énergie
mécanique du ballon se conserve lors du mouvement.
Pour le volant de badminton : les forces qui travaillent sont le poids et la force de frottement de
l’air. Cette dernière est non conservative. Son travail est négatif puisqu’elle est de sens opposé au
vecteur vitesse. Il est donc logique que l’énergie mécanique du volant diminue lors du mouvement.
Comment obtenir une équation différentielle à partir de la loi de l’énergie mécanique pour un système conservatif ?
Pour répondre à cette question envisageons le cas du pendule simple de la figure 12.2. Nous supposerons que M est lancé avec la vitesse #» v 0 = v(0) #» u θ = l ˙
θ(0) #» u θ depuis l’angle θ(0) et que le fil
reste tendu au cours du mouvement.
Dans le référentiel terrestre R supposé galiléen, auquel nous associons le repère (O, #» u x , #» u y ) (voir
figure 12.2), le point M est soumis à :
• son poids
#»
P = m #» g = mg #» u x , force conservative qui dérive de l’énergie potentielle de pesanteur : E pp = −mgx, en choisissant l’origine de E pp en x = 0 (attention ici l’axe vertical Ox
est descendant) ;
• la tension du fil
#»
T = −T #» u r , qui ne travaille pas.
Exprimons l’énergie cinétique et l’énergie potentielle de M à une date quelconque :
• E c =
1
2
mv
2 =
1
2
ml
2 ˙
θ
2
avec à t = 0 : E c =
1
2
ml
2 ˙
θ(0)
2 ;
• E p = −mgx = −mgl cos(θ) avec à t = 0 : E p = −mgl cos(θ(0)).
En écrivant que l’énergie mécanique est une constante du mouvement nous obtenons :
(12.1)
1
2
ml
2 ˙
θ
2
− mgl cos(θ) =
1
2
ml
2 ˙
θ(0)
2
− mgl cos(θ(0))
Cette équation différentielle du premier ordre est appelée intégrale première du mouvement du pendule.
L’intégrale première du mouvement d’un système conservatif est l’équation différentielle
du premier ordre obtenue en écrivant que son énergie mécanique à une date t quelconque
est égale à son énergie mécanique initiale.
Définition : Intégrale première du mouvement d’un système conservatif
Dans un référentiel galiléen et pour un système conservatif :
• exprimer l’énergie cinétique du système en fonction des dérivées temporelles des variables de position, à une date t quelconque et à la date t = 0 ;
• exprimer l’énergie potentielle du système en fonction des variables de position, à une
date t quelconque et à la date t = 0 ;
• traduire la conservation de l’énergie mécanique en écrivant que l’énergie mécanique à
une date t quelconque est égale à sa valeur à t = 0.
Méthode 12.4 : Détermination de l’intégrale première du mouvement
Exercice (12.4)
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