L’essentiel du cours 319
du chemin suivi entre les deux. La force de rappel élastique est donc une force conservative et nous pouvons écrire : W (
#»
F ) M1→M2 = − (E pe (M 2 ) − E pe (M 1 )). Par identification des deux
expressions de W (
#»
F ) M1→M2 , nous déduisons l’expression de l’énergie potentielle E pe de la tension
du ressort, aussi appelée énergie potentielle élastique : E pe =
1
2
k ( − 0 )
2 + cste.
Un point matériel M soumis à la force de rappel d’un ressort, de constante de raideur k et de
longueur à vide 0 , possède une énergie potentielle élastique E pe =
1
2
k ( − 0 )
2 + cste.
Énergie potentielle élastique
Il est courant de choisir E pe = 0 lorsque = 0 . Dans ce cas : E pe =
1
2
k ( − 0 )
2 .
La force gravitationnelle est-elle une force conservative ? Si oui, quelle est l’expression de l’énergie potentielle dont elle dérive ?
Au référentiel R associons le repère cartésien (O, #» u x , #» u y , #» u z ). Un
point matériel M de masse m, de vecteur position
# »
OM = r #» u r se
déplace de M 1 en M 2 dans le champ gravitationnel d’une masse
ponctuelle m 0 placée en O. Il subit de la part de celle-ci la force
gravitationnelle :
#»
F = −
Gm 0 m
r 2
#» u r . Le travail de cette force vaut :
W (
#»
F ) M1→M2 =
M2
M1
#»
F ·
#»
dl, avec
#»
dl = dr #» u r +rdθ #» u θ +r sin(θ)dϕ #» u ϕ
(vecteur déplacement élémentaire en coordonnées sphériques).
Nous en déduisons :
#»
F ·
#»
dl = −
Gm 0 m
r 2 dr.
x
y
z
O
•
M 1
•
M 2
r 1 r 2
D’où : W (
#»
P ) M1→M2 =
M2
M1
−
Gm 0 m
r 2 dr = Gm 0 m
1
r 2
−
1
r 1
.
Le travail de la force gravitationnelle ne dépendant que des positions de M 1 et M 2 et pas du
chemin suivi entre les deux, la force gravitationnelle est une force conservative et nous
pouvons écrire : W (
#»
F ) M1→M2 = − (E pgrav (M 2 ) − E pgrav (M 1 )). Par identification des deux expressions de W (
#»
F ) M1→M2 , nous déduisons l’expression de l’énergie potentielle E pgrav de la force
gravitationnelle, aussi appelée énergie potentielle gravitationnelle : E pgrav = −
Gm 0 m
r
+ cste.
Un point matériel M de masse m, plongé dans le champ gravitationnel d’une masse ponctuelle m 0 placée en O possède une énergie potentielle :
E pgrav = −
Gm 0 m
r
+ cste où r =
# »
OM )
Énergie potentielle gravitationnelle
On considère souvent une énergie potentielle nulle à grande distance soit cste = 0.
© Dunod. Toute reproduction non autorisée est un délit.
partagelivrescpge.blogspot.com
du chemin suivi entre les deux. La force de rappel élastique est donc une force conservative et nous pouvons écrire : W (
#»
F ) M1→M2 = − (E pe (M 2 ) − E pe (M 1 )). Par identification des deux
expressions de W (
#»
F ) M1→M2 , nous déduisons l’expression de l’énergie potentielle E pe de la tension
du ressort, aussi appelée énergie potentielle élastique : E pe =
1
2
k ( − 0 )
2 + cste.
Un point matériel M soumis à la force de rappel d’un ressort, de constante de raideur k et de
longueur à vide 0 , possède une énergie potentielle élastique E pe =
1
2
k ( − 0 )
2 + cste.
Énergie potentielle élastique
Il est courant de choisir E pe = 0 lorsque = 0 . Dans ce cas : E pe =
1
2
k ( − 0 )
2 .
La force gravitationnelle est-elle une force conservative ? Si oui, quelle est l’expression de l’énergie potentielle dont elle dérive ?
Au référentiel R associons le repère cartésien (O, #» u x , #» u y , #» u z ). Un
point matériel M de masse m, de vecteur position
# »
OM = r #» u r se
déplace de M 1 en M 2 dans le champ gravitationnel d’une masse
ponctuelle m 0 placée en O. Il subit de la part de celle-ci la force
gravitationnelle :
#»
F = −
Gm 0 m
r 2
#» u r . Le travail de cette force vaut :
W (
#»
F ) M1→M2 =
M2
M1
#»
F ·
#»
dl, avec
#»
dl = dr #» u r +rdθ #» u θ +r sin(θ)dϕ #» u ϕ
(vecteur déplacement élémentaire en coordonnées sphériques).
Nous en déduisons :
#»
F ·
#»
dl = −
Gm 0 m
r 2 dr.
x
y
z
O
•
M 1
•
M 2
r 1 r 2
D’où : W (
#»
P ) M1→M2 =
M2
M1
−
Gm 0 m
r 2 dr = Gm 0 m
1
r 2
−
1
r 1
.
Le travail de la force gravitationnelle ne dépendant que des positions de M 1 et M 2 et pas du
chemin suivi entre les deux, la force gravitationnelle est une force conservative et nous
pouvons écrire : W (
#»
F ) M1→M2 = − (E pgrav (M 2 ) − E pgrav (M 1 )). Par identification des deux expressions de W (
#»
F ) M1→M2 , nous déduisons l’expression de l’énergie potentielle E pgrav de la force
gravitationnelle, aussi appelée énergie potentielle gravitationnelle : E pgrav = −
Gm 0 m
r
+ cste.
Un point matériel M de masse m, plongé dans le champ gravitationnel d’une masse ponctuelle m 0 placée en O possède une énergie potentielle :
E pgrav = −
Gm 0 m
r
+ cste où r =
# »
OM )
Énergie potentielle gravitationnelle
On considère souvent une énergie potentielle nulle à grande distance soit cste = 0.
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