318 Chapitre 12
Approche énergétique
3 Énergie potentielle et force conservative
Nous avons vu qu’il existe deux catégories de forces, celles dont le travail entre deux points dépend
du chemin suivi et celles dont il n’en dépend pas. Intéressons-nous à la seconde catégorie.
Une force conservative (
#»
F c ) est une force dont le travail ne dépend que des positions initiale M 1
et finale M 2 du système étudié et non du chemin suivi pour aller de M 1 à M 2 .
Une telle force dérive d’une énergie potentielle E p définie par :
W (
#»
F c ) M1→M2 =
M2
M1
#»
F ·
#»
dl = −Δ(E p ) = − (E p (M 2 ) − E p (M 1 ))
Définition : Énergie potentielle d’une force conservative
Dans le cas d’un déplacement infinitésimal : δW =
#»
F ·
#»
dl = −dE p .
L’énergie potentielle E p ne dépend que de la position du système et est définie à
une constante additive près. Cette constante peut être déterminée en choisissant
arbitrairement une origine d’énergie potentielle.
Le poids est-il une force conservative ? Si oui, quelle est l’expression de l’énergie
potentielle dont il dérive ?
Nous avons établi, en prenant un axe Oz vertical ascendant, que le travail du poids entre deux
points M 1 et M 2 d’altitudes z 1 et z 2 s’écrit : W (
#»
P ) M1→M2 = −mg(z 2 − z 1 ). Il ne dépend que des
positions de ces points et pas du chemin suivi. Le poids est donc une force conservative.
Nous pouvons alors écrire : W (
#»
P ) M1→M2 = − (E pp (M 2 ) − E pp (M 1 )). Par identification des deux
expressions de W (
#»
P ) M1→M2 , nous déduisons l’expression de l’énergie potentielle E pp du poids,
aussi appelée énergie potentielle de pesanteur : E pp (z) = mgz + cste.
L’axe (Oz) étant vertical ascendant, un point matériel M de masse m, placé dans un champ
de pesanteur uniforme #» g , possède une énergie potentielle de pesanteur E pp (z) = mgz + cste.
Énergie potentielle de pesanteur
La force de rappel élastique d’un ressort est-elle une force conservative ? Si oui,
quelle est l’expression de l’énergie potentielle dont elle dérive ?
Considérons un point matériel M lié au point fixe O par
l’intermédiaire d’un ressort de constante de raideur k et
de longueur à vide 0 , se déplaçant dans le référentiel R
de M 1 en M 2 sur un axe fixe (Ox).
La force de rappel du ressort s’écrit :
#»
F = −k(− 0 ) #» u x et
le vecteur déplacement élémentaire
#»
dl = dx #» u x = d #» u x .
•
M
x
O
= x
M 1
M 2
Nous en déduisons : W (
#»
F ) M1→M2 =
M2
M1
−k( − 0 )d = −
1
2
k( 2 − 0 )
2
−
1
2
k( 1 − 0 )
2
. Cette
fois encore nous remarquons que ce travail ne dépend que des positions des points M 1 et M 2 et pas
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Approche énergétique
3 Énergie potentielle et force conservative
Nous avons vu qu’il existe deux catégories de forces, celles dont le travail entre deux points dépend
du chemin suivi et celles dont il n’en dépend pas. Intéressons-nous à la seconde catégorie.
Une force conservative (
#»
F c ) est une force dont le travail ne dépend que des positions initiale M 1
et finale M 2 du système étudié et non du chemin suivi pour aller de M 1 à M 2 .
Une telle force dérive d’une énergie potentielle E p définie par :
W (
#»
F c ) M1→M2 =
M2
M1
#»
F ·
#»
dl = −Δ(E p ) = − (E p (M 2 ) − E p (M 1 ))
Définition : Énergie potentielle d’une force conservative
Dans le cas d’un déplacement infinitésimal : δW =
#»
F ·
#»
dl = −dE p .
L’énergie potentielle E p ne dépend que de la position du système et est définie à
une constante additive près. Cette constante peut être déterminée en choisissant
arbitrairement une origine d’énergie potentielle.
Le poids est-il une force conservative ? Si oui, quelle est l’expression de l’énergie
potentielle dont il dérive ?
Nous avons établi, en prenant un axe Oz vertical ascendant, que le travail du poids entre deux
points M 1 et M 2 d’altitudes z 1 et z 2 s’écrit : W (
#»
P ) M1→M2 = −mg(z 2 − z 1 ). Il ne dépend que des
positions de ces points et pas du chemin suivi. Le poids est donc une force conservative.
Nous pouvons alors écrire : W (
#»
P ) M1→M2 = − (E pp (M 2 ) − E pp (M 1 )). Par identification des deux
expressions de W (
#»
P ) M1→M2 , nous déduisons l’expression de l’énergie potentielle E pp du poids,
aussi appelée énergie potentielle de pesanteur : E pp (z) = mgz + cste.
L’axe (Oz) étant vertical ascendant, un point matériel M de masse m, placé dans un champ
de pesanteur uniforme #» g , possède une énergie potentielle de pesanteur E pp (z) = mgz + cste.
Énergie potentielle de pesanteur
La force de rappel élastique d’un ressort est-elle une force conservative ? Si oui,
quelle est l’expression de l’énergie potentielle dont elle dérive ?
Considérons un point matériel M lié au point fixe O par
l’intermédiaire d’un ressort de constante de raideur k et
de longueur à vide 0 , se déplaçant dans le référentiel R
de M 1 en M 2 sur un axe fixe (Ox).
La force de rappel du ressort s’écrit :
#»
F = −k(− 0 ) #» u x et
le vecteur déplacement élémentaire
#»
dl = dx #» u x = d #» u x .
•
M
x
O
= x
M 1
M 2
Nous en déduisons : W (
#»
F ) M1→M2 =
M2
M1
−k( − 0 )d = −
1
2
k( 2 − 0 )
2
−
1
2
k( 1 − 0 )
2
. Cette
fois encore nous remarquons que ce travail ne dépend que des positions des points M 1 et M 2 et pas
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