316 Chapitre 12
Approche énergétique
Les forces qui restent en permanence normales au mouvement ne travaillent pas et
n’interviennent pas dans les raisonnements énergétiques.
Pour illustrer cette remarque, considérons le pendule simple
de la figure 12.2. Le corps de masse m, assimilé à un point M ,
est accroché à une potence par l’intermédiaire d’un fil inextensible de longueur l. On considère qu’au cours du mouvement
le fil reste tendu. Le point M est soumis à son poids
#»
P et à la
tension
#»
T = −T #» u r du fil. Cette dernière reste constamment
perpendiculaire à la vitesse #» v = l ˙
θ #» u θ . Sa puissance P(
#»
T )
est donc nulle au cours du mouvement. On dit que la tension
ne travaille pas.
x
y
O
M
θ
l
# »
u r
# »
u θ
Figure 12.2. Pendule simple.
À quel type d’équation la loi de la puissance cinétique conduit-elle ?
Pour répondre à cette question reprenons le cas du pendule simple de la figure 12.2, étudié dans
le chapitre 11 à l’aide de la loi de la quantité de mouvement.
Le point matériel M est soumis à son poids
#»
P = mg #» u x et à la tension
#»
T = −T #» u r du fil. On
néglige les frottements de l’air. Le mouvement de M étant circulaire, on utilise les coordonnées
polaires pour repérer la position de M . Le vecteur position et le vecteur vitesse de M s’écrivent
respectivement
# »
OM = l #» u r et #» v = l ˙
θ #» u θ .
On en déduit : E c =
1
2
mv
2 =
1
2
ml
2 ˙
θ
2 et la dérivée temporelle de l’énergie cinétique :
dE c
dt
= ml
2 ˙
θ ¨
θ.
Calculons les puissances des deux forces appliquées à M :
P(
#»
P ) =
#»
P · #» v = (mg #» u x ) ·
l ˙
θ #» u θ
= −mgl ˙
θ sin(θ) et P(
#»
T ) =
#»
T · #» v = (−T #» u r ) ·
l ˙
θ #» u θ
= 0
La loi de la puissance cinétique, appliquée dans le référentiel terrestre supposé galiléen, conduit à :
dE c
dt
= P(
#»
P ) + P(
#»
T ) =⇒ ml
2 ˙
θ ¨
θ = −mgl ˙
θ sin(θ) + 0 =⇒ ml ˙
θ
l ¨
θ + g sin(θ)
= 0
Cette équation devant être vérifiée à chaque instant t du mouvement, ml ˙
θ est différent de 0. On
obtient après simplification : l ¨
θ + g sin(θ) = 0.
La loi de la puissance cinétique conduit à une équation différentielle du second ordre. On
retrouve ainsi l’équation de mouvement obtenue à l’aide de la loi de la quantité de mouvement.
Dans un référentiel galiléen :
• définir un repère adapté au problème ;
• exprimer l’énergie cinétique du système dans le référentiel d’étude, puis la dériver par
rapport au temps ;
• calculer la somme des puissances des forces appliquées ;
• identifier les expressions obtenues dans les deux étapes précédentes.
Méthode 12.1 : Utilisation de la loi de la puissance cinétique
Exercice (12.1)
partagelivrescpge.blogspot.com
Approche énergétique
Les forces qui restent en permanence normales au mouvement ne travaillent pas et
n’interviennent pas dans les raisonnements énergétiques.
Pour illustrer cette remarque, considérons le pendule simple
de la figure 12.2. Le corps de masse m, assimilé à un point M ,
est accroché à une potence par l’intermédiaire d’un fil inextensible de longueur l. On considère qu’au cours du mouvement
le fil reste tendu. Le point M est soumis à son poids
#»
P et à la
tension
#»
T = −T #» u r du fil. Cette dernière reste constamment
perpendiculaire à la vitesse #» v = l ˙
θ #» u θ . Sa puissance P(
#»
T )
est donc nulle au cours du mouvement. On dit que la tension
ne travaille pas.
x
y
O
M
θ
l
# »
u r
# »
u θ
Figure 12.2. Pendule simple.
À quel type d’équation la loi de la puissance cinétique conduit-elle ?
Pour répondre à cette question reprenons le cas du pendule simple de la figure 12.2, étudié dans
le chapitre 11 à l’aide de la loi de la quantité de mouvement.
Le point matériel M est soumis à son poids
#»
P = mg #» u x et à la tension
#»
T = −T #» u r du fil. On
néglige les frottements de l’air. Le mouvement de M étant circulaire, on utilise les coordonnées
polaires pour repérer la position de M . Le vecteur position et le vecteur vitesse de M s’écrivent
respectivement
# »
OM = l #» u r et #» v = l ˙
θ #» u θ .
On en déduit : E c =
1
2
mv
2 =
1
2
ml
2 ˙
θ
2 et la dérivée temporelle de l’énergie cinétique :
dE c
dt
= ml
2 ˙
θ ¨
θ.
Calculons les puissances des deux forces appliquées à M :
P(
#»
P ) =
#»
P · #» v = (mg #» u x ) ·
l ˙
θ #» u θ
= −mgl ˙
θ sin(θ) et P(
#»
T ) =
#»
T · #» v = (−T #» u r ) ·
l ˙
θ #» u θ
= 0
La loi de la puissance cinétique, appliquée dans le référentiel terrestre supposé galiléen, conduit à :
dE c
dt
= P(
#»
P ) + P(
#»
T ) =⇒ ml
2 ˙
θ ¨
θ = −mgl ˙
θ sin(θ) + 0 =⇒ ml ˙
θ
l ¨
θ + g sin(θ)
= 0
Cette équation devant être vérifiée à chaque instant t du mouvement, ml ˙
θ est différent de 0. On
obtient après simplification : l ¨
θ + g sin(θ) = 0.
La loi de la puissance cinétique conduit à une équation différentielle du second ordre. On
retrouve ainsi l’équation de mouvement obtenue à l’aide de la loi de la quantité de mouvement.
Dans un référentiel galiléen :
• définir un repère adapté au problème ;
• exprimer l’énergie cinétique du système dans le référentiel d’étude, puis la dériver par
rapport au temps ;
• calculer la somme des puissances des forces appliquées ;
• identifier les expressions obtenues dans les deux étapes précédentes.
Méthode 12.1 : Utilisation de la loi de la puissance cinétique
Exercice (12.1)
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