L’essentiel du cours 29
t
s S (t) = f (t)
O
T s
Figure 2.11. Allure du
signal au niveau de la
source.
t
s M (t), s N (t)
O
τ M
τ M + T s
τ N
τ N + T s
M
N
Figure 2.12. Allure du signal reçu en M et N .
La valeur s M (t) du signal en un point M d’abscisse x M positive, à la date t, correspond alors à sa
valeur s S (t − τ M ) lors de son émission par la source à la date (t − τ M ), τ M = x M /c étant le temps
nécessaire à sa propagation de S en M à la célérité c. Nous pouvons donc écrire :
s M (t) = s S (t − τ M ) = s S (t − x M /c). Il en est de même pour la valeur s N (t) du signal en N
d’abscisse x N > x M : s N (t) = s S (t − τ N ) = s S (t − x N /c), comme l’illustre la figure 2.12.
Nous pouvons alors écrire pour tout point d’abscisse x > 0 :
s(x, t) = s S (t − τ ) = s S (t − x/c) = f (t − x/c)
En faisant le changement de variable t − x/c → x − ct on peut aussi mettre s(x, t) sous
la forme s(x, t) = g(x − ct).
Et si le signal se propage dans le sens négatif ?
Il suffit de changer c en −c et on obtient : s(x, t) = f (t + x/c) = g(x + ct).
Un signal s(x, t) se propageant sans déformation ni atténuation dans la direction d’un axe Ox
peut se mettre sous la forme :
• Pour une propagation dans le sens des x croissants :
s(x, t) = f (t − x/c) ou s(x, t) = g (x − ct)
• Pour une propagation dans le sens des x décroissants :
s(x, t) = f (t + x/c) ou s(x, t) = g (x + ct)
Définition : Représentation mathématique d’une onde progressive
Comment représenter mathématiquement une onde progressive sinusoïdale ?
Considérons le cas où la source est placée en O et émet un signal sinusoïdal s(t) = S 0 cos(ωt + ϕ 0 ),
de pulsation ω, d’amplitude S 0 et de phase à l’origine ϕ 0 . Supposons que ce signal se propage sans
déformation ni atténuation dans la direction de l’axe Ox, dans le sens des x croissants. D’après ce
qui précède, son expression en un point d’abscisse x est de la forme : s(x, t) = s(0, t − τ ), soit :
s(x, t) = S 0 cos(ω(t − τ ) + ϕ 0 ) = S 0 cos
ω
t −
x
c
+ ϕ 0
= S 0 cos
ωt −
ω
c
x + ϕ 0
. En posant
k =
ω
c
, on aboutit à : s(x, t) = S 0 cos(ωt − kx + ϕ 0 ). C’est l’expression d’une onde progressive
© Dunod. Toute reproduction non autorisée est un délit.
partagelivrescpge.blogspot.com
t
s S (t) = f (t)
O
T s
Figure 2.11. Allure du
signal au niveau de la
source.
t
s M (t), s N (t)
O
τ M
τ M + T s
τ N
τ N + T s
M
N
Figure 2.12. Allure du signal reçu en M et N .
La valeur s M (t) du signal en un point M d’abscisse x M positive, à la date t, correspond alors à sa
valeur s S (t − τ M ) lors de son émission par la source à la date (t − τ M ), τ M = x M /c étant le temps
nécessaire à sa propagation de S en M à la célérité c. Nous pouvons donc écrire :
s M (t) = s S (t − τ M ) = s S (t − x M /c). Il en est de même pour la valeur s N (t) du signal en N
d’abscisse x N > x M : s N (t) = s S (t − τ N ) = s S (t − x N /c), comme l’illustre la figure 2.12.
Nous pouvons alors écrire pour tout point d’abscisse x > 0 :
s(x, t) = s S (t − τ ) = s S (t − x/c) = f (t − x/c)
En faisant le changement de variable t − x/c → x − ct on peut aussi mettre s(x, t) sous
la forme s(x, t) = g(x − ct).
Et si le signal se propage dans le sens négatif ?
Il suffit de changer c en −c et on obtient : s(x, t) = f (t + x/c) = g(x + ct).
Un signal s(x, t) se propageant sans déformation ni atténuation dans la direction d’un axe Ox
peut se mettre sous la forme :
• Pour une propagation dans le sens des x croissants :
s(x, t) = f (t − x/c) ou s(x, t) = g (x − ct)
• Pour une propagation dans le sens des x décroissants :
s(x, t) = f (t + x/c) ou s(x, t) = g (x + ct)
Définition : Représentation mathématique d’une onde progressive
Comment représenter mathématiquement une onde progressive sinusoïdale ?
Considérons le cas où la source est placée en O et émet un signal sinusoïdal s(t) = S 0 cos(ωt + ϕ 0 ),
de pulsation ω, d’amplitude S 0 et de phase à l’origine ϕ 0 . Supposons que ce signal se propage sans
déformation ni atténuation dans la direction de l’axe Ox, dans le sens des x croissants. D’après ce
qui précède, son expression en un point d’abscisse x est de la forme : s(x, t) = s(0, t − τ ), soit :
s(x, t) = S 0 cos(ω(t − τ ) + ϕ 0 ) = S 0 cos
ω
t −
x
c
+ ϕ 0
= S 0 cos
ωt −
ω
c
x + ϕ 0
. En posant
k =
ω
c
, on aboutit à : s(x, t) = S 0 cos(ωt − kx + ϕ 0 ). C’est l’expression d’une onde progressive
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