Corrections 307
Exercice 11.2
L’étude est menée dans le référentiel terrestre R lié au sol, supposé galiléen. Le mouvement de l’alpiniste
étant vertical on utilise un repère cartésien dont un des axes, l’axe Oz, est vertical.
1. L’alpiniste est soumis à son poids
#»
P = mg #» uz et à la tension de la corde
#»
T = −k(z(t) − l0) #» uz.
2. À l’équilibre (ze = le) la loi de la quantité de mouvement conduit à : mg #» uz − k(le − l0) #» uz =
#»
0 . La
projection sur #» uz fournit : mg − k(le − l0) = 0, d’où : le = l0 +
mg
k
= 10,3 m > 10 m.
3. La loi de la quantité de mouvement appliquée à l’alpiniste conduit à : m #» a =
#»
P +
#»
T , soit par projection
sur #» uz : m¨ z = mg − k(z − l0). D’où : m¨ z = mg − k(z − le + le − l0). En utilisant la relation obtenue
dans la question 2, cette équation se réécrit : m¨ z = k(z − le) et finalement : ¨
z +
k
m
z =
k
m
le.
La résolution de cette équation s’effectue par étapes.
— Résolution de l’équation homogène ¨
z +
k
m
z = 0. On reconnaît l’équation d’un oscillateur
harmonique de pulsation ω =
k
m
dont la solution générale est zH (t) = A cos(ωt) + B sin(ωt).
— Détermination d’une solution particulière de l’équation avec second membre : zp = le.
— Détermination de la solution générale de l’équation complète : z(t) = zH (t) + zp(t).
— Calcul des constantes d’intégration A et B, compte tenu des conditions initiales :
z(0) = A + le = a + le, donc A = a et ˙
z(0) = Bω = 0, donc B = 0.
L’équation horaire du mouvement est donc z(t) = a cos(ωt) + le.
4. La période des oscillations est T =
2π
ω
= 2π
m
k
= 1,1 s. Elle est indépendante de a.
Exercice 11.3
1. Le mobil-home, posé au sol, est soumis aux N forces de tension
#»
T = T #» uz verticales ascendantes
des N fils tendus le reliant aux ballons, à son poids
#»
P = −Mg #» uz, à la poussée d’Archimède verticale
ascendante que nous négligerons devant son poids et à la réaction du sol verticale ascendante
#»
R = R #» uz.
Un ballon est quant à lui soumis à la tension du fil le reliant au mobil-home,
# »
T
= −
#»
T = −T #» uz, à son
poids
# »
P
= −
4
3
πR
3 μ He g #» uz et à la poussée d’Archimède
#»
F a =
4
3
πR
3 μairg #» uz.
2. Lorsque le mobil-home est en contact avec le sol, le système constitué des N ballons et du mobilhome est soumis aux forces extérieures suivantes : N
#»
F a = N
4
3
πR
3 μairg #» uz, N
# »
P
= N
4
3
πR
3 μ He g #» uz,
#»
P = −Mg #» uz et
#»
R = R #» uz. La loi de la quantité de mouvement appliquée à ce système en équilibre
dans le référentiel terrestre supposé galiléen conduit à : −Mg #» uz + N
4
3
πR
3 (μair − μ He )g #» uz + R #» uz =
#»
0 .
Nous en déduisons : R = Mg − N
4
3
πR
3 (μair − μ He )g. Le contact avec le sol est rompu si R s’annule.
Le nombre minimum de ballons nécessaires au décollage est donc le plus petit entier N pour lequel
Mg ≤ N
4
3
πR
3 (μair − μ He )g, d’où : N ≥
3M
4πR 3 (μair − μ He )
= 1237, 9. Numériquement : Nmin = 1238.
Exercice 11.4
1. Luke est soumis à la force
#»
F et à son poids
#»
P = −mg #» uz. La loi de la quantité de mouvement appliquée
à Luke dans le référentiel Dagobesque galiléen s’écrit : m #» a =
#»
F − mg #» uz.
2. On en déduit :
#»
F = m #» a + mg #» uz avec #» a = ¨
x #» ux + ¨
y #» uy + ¨
z #» uz. On calcule ¨
x, ¨
y et ¨
z à partir des lois
horaires. On obtient : #» a = −ω
2 x0 cos(ωt) #» ux − ω
2 y0 sin(ωt) #» uy − g #» uz = −ω
2 x #» ux − ω
2 y #» uy − g #» uz. D’où
#»
F = −mω
2 (x #» ux + y #» uy), ce qui correspond à une force de rappel élastique dans le plan (x, y)...
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Exercice 11.2
L’étude est menée dans le référentiel terrestre R lié au sol, supposé galiléen. Le mouvement de l’alpiniste
étant vertical on utilise un repère cartésien dont un des axes, l’axe Oz, est vertical.
1. L’alpiniste est soumis à son poids
#»
P = mg #» uz et à la tension de la corde
#»
T = −k(z(t) − l0) #» uz.
2. À l’équilibre (ze = le) la loi de la quantité de mouvement conduit à : mg #» uz − k(le − l0) #» uz =
#»
0 . La
projection sur #» uz fournit : mg − k(le − l0) = 0, d’où : le = l0 +
mg
k
= 10,3 m > 10 m.
3. La loi de la quantité de mouvement appliquée à l’alpiniste conduit à : m #» a =
#»
P +
#»
T , soit par projection
sur #» uz : m¨ z = mg − k(z − l0). D’où : m¨ z = mg − k(z − le + le − l0). En utilisant la relation obtenue
dans la question 2, cette équation se réécrit : m¨ z = k(z − le) et finalement : ¨
z +
k
m
z =
k
m
le.
La résolution de cette équation s’effectue par étapes.
— Résolution de l’équation homogène ¨
z +
k
m
z = 0. On reconnaît l’équation d’un oscillateur
harmonique de pulsation ω =
k
m
dont la solution générale est zH (t) = A cos(ωt) + B sin(ωt).
— Détermination d’une solution particulière de l’équation avec second membre : zp = le.
— Détermination de la solution générale de l’équation complète : z(t) = zH (t) + zp(t).
— Calcul des constantes d’intégration A et B, compte tenu des conditions initiales :
z(0) = A + le = a + le, donc A = a et ˙
z(0) = Bω = 0, donc B = 0.
L’équation horaire du mouvement est donc z(t) = a cos(ωt) + le.
4. La période des oscillations est T =
2π
ω
= 2π
m
k
= 1,1 s. Elle est indépendante de a.
Exercice 11.3
1. Le mobil-home, posé au sol, est soumis aux N forces de tension
#»
T = T #» uz verticales ascendantes
des N fils tendus le reliant aux ballons, à son poids
#»
P = −Mg #» uz, à la poussée d’Archimède verticale
ascendante que nous négligerons devant son poids et à la réaction du sol verticale ascendante
#»
R = R #» uz.
Un ballon est quant à lui soumis à la tension du fil le reliant au mobil-home,
# »
T
= −
#»
T = −T #» uz, à son
poids
# »
P
= −
4
3
πR
3 μ He g #» uz et à la poussée d’Archimède
#»
F a =
4
3
πR
3 μairg #» uz.
2. Lorsque le mobil-home est en contact avec le sol, le système constitué des N ballons et du mobilhome est soumis aux forces extérieures suivantes : N
#»
F a = N
4
3
πR
3 μairg #» uz, N
# »
P
= N
4
3
πR
3 μ He g #» uz,
#»
P = −Mg #» uz et
#»
R = R #» uz. La loi de la quantité de mouvement appliquée à ce système en équilibre
dans le référentiel terrestre supposé galiléen conduit à : −Mg #» uz + N
4
3
πR
3 (μair − μ He )g #» uz + R #» uz =
#»
0 .
Nous en déduisons : R = Mg − N
4
3
πR
3 (μair − μ He )g. Le contact avec le sol est rompu si R s’annule.
Le nombre minimum de ballons nécessaires au décollage est donc le plus petit entier N pour lequel
Mg ≤ N
4
3
πR
3 (μair − μ He )g, d’où : N ≥
3M
4πR 3 (μair − μ He )
= 1237, 9. Numériquement : Nmin = 1238.
Exercice 11.4
1. Luke est soumis à la force
#»
F et à son poids
#»
P = −mg #» uz. La loi de la quantité de mouvement appliquée
à Luke dans le référentiel Dagobesque galiléen s’écrit : m #» a =
#»
F − mg #» uz.
2. On en déduit :
#»
F = m #» a + mg #» uz avec #» a = ¨
x #» ux + ¨
y #» uy + ¨
z #» uz. On calcule ¨
x, ¨
y et ¨
z à partir des lois
horaires. On obtient : #» a = −ω
2 x0 cos(ωt) #» ux − ω
2 y0 sin(ωt) #» uy − g #» uz = −ω
2 x #» ux − ω
2 y #» uy − g #» uz. D’où
#»
F = −mω
2 (x #» ux + y #» uy), ce qui correspond à une force de rappel élastique dans le plan (x, y)...
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