308 Chapitre 11
Loi de la quantité de mouvement
Exercice 11.5
1. Les forces s’exerçant sur la balle sont : son poids
#»
P = −mg #» uz, la poussée d’Archimède
#»
F a =
πd
3
6
μeg #» uz,
et la force de frottement fluide
#»
F f = −hv
2 #» uz.
Par analyse dimensionnelle de F f = hv
2 , il vient [h]L
2 T
−2 = M L T
−2 , soit [h] = M L
−1 . Le coefficient
h s’exprime donc en kg · m
−1 .
2. L’accélération de la balle dans le référentiel terrestre R est #» a (t) =
dv
dt
(t) #» e z . La projection sur l’axe
Oz de la loi de la quantité de mouvement appliquée à la balle dans R, supposé galiléen, conduit à :
ma(t) = m
dv(t)
dt
=
πd
3
6
μe − m
g − hv(t)
2 .
3. À l’instant initial v(0) = 0, d’où : a(0) =
πd
3
6m
μe − 1
g = 1,1 · 10
2 m · s
−2 .
4. Sans frottement (h = 0), l’accélération resterait égale à a(0) et l’équation différentielle du mouvement
s’écrirait : ˙
v(t) = a(0). D’où, compte tenu des conditions initiales : v(t) = a(0)t et z(t) =
1
2
a(0)t
2 . La
surface serait atteinte à la date t f =
2z f
a(0)
et la vitesse y serait v f =
2a(0)z f = 8,2 m · s
−1 .
5. Dans une première phase, pour 0 ≤ z < 2,5 cm, ˙
z croît très rapidement avec la distance parcourue.
Puis pour 2,5 cm ≤ z < 30 cm elle reste constante et égale à v lim = 1,0 m · s
−1 .
En analysant l’équation différentielle du mouvement, nous voyons que le régime limite (
dv
dt
= 0) est
atteint pour v lim =
ma(0)
h
= 1,0 m · s
−1 . Il y a donc une bonne corrélation entre la vitesse calculée
et celle déterminée par la trajectoire de phase.
La vitesse parvenant à sa valeur limite sur une courte distance, on peut supposer que toute la montée
se fait à la vitesse constante v lim , ce qui revient à négliger la durée du régime transitoire. On obtient
ainsi une estimation du temps de remontée : Δt =
z f
v lim
= 0,3 s.
Exercice 11.6
1. Au départ la vitesse du volant est positive. La trajectoire de phase est donc décrite du haut vers le bas et
les conditions initiales correspondent au point le plus haut : z0 = z(0) = 1,0 m et v0 = ˙
z(0) = 70 m · s
−1 .
2. En absence de frottement le volant n’est soumis qu’à son poids. La loi de la quantité de mouvement
appliquée au volant conduit à : m #» a = m #» g . Par projection sur #» uz on obtient :
d
2 z
dt 2 = −g. Cette
équation s’intègre, compte tenu des conditions initiales, en ˙
z(t) = −gt + v0 et z(t) = −
1
2
gt
2 + v0t + z0.
3. Au sommet de la trajectoire : t = tm =
v0
g
et zmax = z(tm) =
v
2
0
2g
+ z0 = 2,5 · 10
2 m. Or on constate
par analyse de la courbe z(t) que le volant ne monte qu’à 14 m. Il est donc être nécessaire de prendre
en compte une force de frottement de l’air.
4. La trajectoire de phase fait apparaître une vitesse limite v lim = −7,5 m · s
−1 au cours de la descente. La
vitesse étant alors vers le bas, la force de frottement est vers le haut et la loi de la quantité de mouvement
projetée sur #» uz conduit à : ¨
z = −g + h ˙
z
2 . On en déduit : v
2
lim =
g
h
, d’où h =
g
v
2
lim
= 0,17 m
−1 .
5. Lors de la descente : ¨
z = −g + h ˙
z
2 . Avant que v lim soit atteinte le terme −g est prépondérant dans le
second membre. En négligeant le terme h ˙
z
2 : ¨
z ∼ −g et v lim ∼ −gτ . D’où τ ∼ −
v lim
g
∼
1
√
gh
≈ 0,8 s.
C’est bien ce que suggère la courbe z(t) : le sommet de la trajectoire est atteint pour t = 1,2 s et la
vitesse limite (portion rectiligne décroissante) pour t ≈ 2 s. La durée entre ces deux instants vaut 0,8 s.
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Loi de la quantité de mouvement
Exercice 11.5
1. Les forces s’exerçant sur la balle sont : son poids
#»
P = −mg #» uz, la poussée d’Archimède
#»
F a =
πd
3
6
μeg #» uz,
et la force de frottement fluide
#»
F f = −hv
2 #» uz.
Par analyse dimensionnelle de F f = hv
2 , il vient [h]L
2 T
−2 = M L T
−2 , soit [h] = M L
−1 . Le coefficient
h s’exprime donc en kg · m
−1 .
2. L’accélération de la balle dans le référentiel terrestre R est #» a (t) =
dv
dt
(t) #» e z . La projection sur l’axe
Oz de la loi de la quantité de mouvement appliquée à la balle dans R, supposé galiléen, conduit à :
ma(t) = m
dv(t)
dt
=
πd
3
6
μe − m
g − hv(t)
2 .
3. À l’instant initial v(0) = 0, d’où : a(0) =
πd
3
6m
μe − 1
g = 1,1 · 10
2 m · s
−2 .
4. Sans frottement (h = 0), l’accélération resterait égale à a(0) et l’équation différentielle du mouvement
s’écrirait : ˙
v(t) = a(0). D’où, compte tenu des conditions initiales : v(t) = a(0)t et z(t) =
1
2
a(0)t
2 . La
surface serait atteinte à la date t f =
2z f
a(0)
et la vitesse y serait v f =
2a(0)z f = 8,2 m · s
−1 .
5. Dans une première phase, pour 0 ≤ z < 2,5 cm, ˙
z croît très rapidement avec la distance parcourue.
Puis pour 2,5 cm ≤ z < 30 cm elle reste constante et égale à v lim = 1,0 m · s
−1 .
En analysant l’équation différentielle du mouvement, nous voyons que le régime limite (
dv
dt
= 0) est
atteint pour v lim =
ma(0)
h
= 1,0 m · s
−1 . Il y a donc une bonne corrélation entre la vitesse calculée
et celle déterminée par la trajectoire de phase.
La vitesse parvenant à sa valeur limite sur une courte distance, on peut supposer que toute la montée
se fait à la vitesse constante v lim , ce qui revient à négliger la durée du régime transitoire. On obtient
ainsi une estimation du temps de remontée : Δt =
z f
v lim
= 0,3 s.
Exercice 11.6
1. Au départ la vitesse du volant est positive. La trajectoire de phase est donc décrite du haut vers le bas et
les conditions initiales correspondent au point le plus haut : z0 = z(0) = 1,0 m et v0 = ˙
z(0) = 70 m · s
−1 .
2. En absence de frottement le volant n’est soumis qu’à son poids. La loi de la quantité de mouvement
appliquée au volant conduit à : m #» a = m #» g . Par projection sur #» uz on obtient :
d
2 z
dt 2 = −g. Cette
équation s’intègre, compte tenu des conditions initiales, en ˙
z(t) = −gt + v0 et z(t) = −
1
2
gt
2 + v0t + z0.
3. Au sommet de la trajectoire : t = tm =
v0
g
et zmax = z(tm) =
v
2
0
2g
+ z0 = 2,5 · 10
2 m. Or on constate
par analyse de la courbe z(t) que le volant ne monte qu’à 14 m. Il est donc être nécessaire de prendre
en compte une force de frottement de l’air.
4. La trajectoire de phase fait apparaître une vitesse limite v lim = −7,5 m · s
−1 au cours de la descente. La
vitesse étant alors vers le bas, la force de frottement est vers le haut et la loi de la quantité de mouvement
projetée sur #» uz conduit à : ¨
z = −g + h ˙
z
2 . On en déduit : v
2
lim =
g
h
, d’où h =
g
v
2
lim
= 0,17 m
−1 .
5. Lors de la descente : ¨
z = −g + h ˙
z
2 . Avant que v lim soit atteinte le terme −g est prépondérant dans le
second membre. En négligeant le terme h ˙
z
2 : ¨
z ∼ −g et v lim ∼ −gτ . D’où τ ∼ −
v lim
g
∼
1
√
gh
≈ 0,8 s.
C’est bien ce que suggère la courbe z(t) : le sommet de la trajectoire est atteint pour t = 1,2 s et la
vitesse limite (portion rectiligne décroissante) pour t ≈ 2 s. La durée entre ces deux instants vaut 0,8 s.
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