L’essentiel du cours 295
4 Étude d’un oscillateur harmonique – Portrait de phase
Revenons maintenant sur la notion d’oscillateur harmonique ayant fait l’objet du chapitre 1. Pour cela, nous considérons un solide de masse m pouvant glisser sans frottement
sur un support horizontal en étant accroché à un ressort de
constante de raideur k et de longueur à vide 0 . Le solide
étant de petite taille devant la longueur du ressort, nous
l’assimilerons à un point M . L’étude est menée dans le référentiel terrestre R supposé galiléen, auquel on associe le
repère cartésien (O, #» u x , #» u y ). Nous nous limiterons à l’étude
d’un mouvement selon une direction matérialisée par l’axe
(Ox).
•
M
O
x
y
0
#» g
Figure 11.9. Oscillateur
harmonique.
Comment retrouver l’équation du mouvement de l’oscillateur harmonique ?
Le solide est soumis à son poids
#»
P = m #» g = −mg #» u y , à la réaction normale du support
#»
R n = R n
#» u y
et à la force élastique
#»
F = −k( − 0 ) #» u x . La loi de la quantité de mouvement appliquée au solide
dans le référentiel R conduit à : m #» a =
#»
P +
#»
R n +
#»
F .
En projection sur (Oy) : R n = mg. La réaction normale du support compense le poids. En projection sur (Ox) : ma x = −k( − 0 ), avec = x et a x = ¨
x. Nous en déduisons :
¨
x +
k
m
x =
k
m
0
C’est l’équation différentielle d’un oscillateur harmonique avec second membre constant, de pulsation propre ω 0 =
k/m et dont la position d’équilibre est définie par x eq = 0 : ¨
x + ω
2
0 x = ω
2
0 0 .
Le changement de variable X = x − x eq = x − 0 , qui revient à prendre l’origine au niveau de la
position d’équilibre, nous permet de retrouver l’équation homogène de l’oscillateur harmonique :
(11.8)
¨
X + ω
2
0 X = 0
Revenons, dans le cadre de cet exemple sur une notion introduite dans le chapitre 6, celle du
portrait de phase.
X(t) étant la grandeur étudiée et ˙
X(t) sa dérivée par rapport au temps, le plan (X, ˙
X)
constitue son plan de phase. Une courbe représentant ˙
X en fonction de X pour un couple
(X(0), ˙
X(0)) de conditions initiales donné est une trajectoire de phase. Un ensemble de
trajectoires de phase correspondant à des conditions initiales différentes constitue un portrait
de phase du système étudié.
Définition : Portrait de phase
Quelle est l’équation d’une trajectoire de phase de l’oscillateur harmonique ?
En multipliant l’équation 11.8 par ˙
X, nous obtenons : ˙
X ¨
X + ω
2
0 X ˙
X = 0.
En remarquant que ˙
X ¨
X =
1
2
d
˙
X
2
dt
et que X ˙
X =
1
2
d
X
2
dt
, nous pouvons réécrire cette équation
sous la forme :
1
2
d
˙
X
2
dt
+ ω
2
0
1
2
d
X
2
dt
=
1
2
d
dt
˙
X
2 + ω
2
0 X
2
= 0. Nous en déduisons l’équation
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4 Étude d’un oscillateur harmonique – Portrait de phase
Revenons maintenant sur la notion d’oscillateur harmonique ayant fait l’objet du chapitre 1. Pour cela, nous considérons un solide de masse m pouvant glisser sans frottement
sur un support horizontal en étant accroché à un ressort de
constante de raideur k et de longueur à vide 0 . Le solide
étant de petite taille devant la longueur du ressort, nous
l’assimilerons à un point M . L’étude est menée dans le référentiel terrestre R supposé galiléen, auquel on associe le
repère cartésien (O, #» u x , #» u y ). Nous nous limiterons à l’étude
d’un mouvement selon une direction matérialisée par l’axe
(Ox).
•
M
O
x
y
0
#» g
Figure 11.9. Oscillateur
harmonique.
Comment retrouver l’équation du mouvement de l’oscillateur harmonique ?
Le solide est soumis à son poids
#»
P = m #» g = −mg #» u y , à la réaction normale du support
#»
R n = R n
#» u y
et à la force élastique
#»
F = −k( − 0 ) #» u x . La loi de la quantité de mouvement appliquée au solide
dans le référentiel R conduit à : m #» a =
#»
P +
#»
R n +
#»
F .
En projection sur (Oy) : R n = mg. La réaction normale du support compense le poids. En projection sur (Ox) : ma x = −k( − 0 ), avec = x et a x = ¨
x. Nous en déduisons :
¨
x +
k
m
x =
k
m
0
C’est l’équation différentielle d’un oscillateur harmonique avec second membre constant, de pulsation propre ω 0 =
k/m et dont la position d’équilibre est définie par x eq = 0 : ¨
x + ω
2
0 x = ω
2
0 0 .
Le changement de variable X = x − x eq = x − 0 , qui revient à prendre l’origine au niveau de la
position d’équilibre, nous permet de retrouver l’équation homogène de l’oscillateur harmonique :
(11.8)
¨
X + ω
2
0 X = 0
Revenons, dans le cadre de cet exemple sur une notion introduite dans le chapitre 6, celle du
portrait de phase.
X(t) étant la grandeur étudiée et ˙
X(t) sa dérivée par rapport au temps, le plan (X, ˙
X)
constitue son plan de phase. Une courbe représentant ˙
X en fonction de X pour un couple
(X(0), ˙
X(0)) de conditions initiales donné est une trajectoire de phase. Un ensemble de
trajectoires de phase correspondant à des conditions initiales différentes constitue un portrait
de phase du système étudié.
Définition : Portrait de phase
Quelle est l’équation d’une trajectoire de phase de l’oscillateur harmonique ?
En multipliant l’équation 11.8 par ˙
X, nous obtenons : ˙
X ¨
X + ω
2
0 X ˙
X = 0.
En remarquant que ˙
X ¨
X =
1
2
d
˙
X
2
dt
et que X ˙
X =
1
2
d
X
2
dt
, nous pouvons réécrire cette équation
sous la forme :
1
2
d
˙
X
2
dt
+ ω
2
0
1
2
d
X
2
dt
=
1
2
d
dt
˙
X
2 + ω
2
0 X
2
= 0. Nous en déduisons l’équation
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