296 Chapitre 11
Loi de la quantité de mouvement
d’une trajectoire de phase de l’oscillateur harmonique :
(11.9)
˙
X
2 + ω
2
0 X
2 = ω
2
0 a
2
⇐⇒
˙
X
2
ω 2
0 a 2 +
X
2
a 2 = 1
où a est une constante positive dépendant des conditions initiales : ω
2
0 a = ˙
X
2 (0) + ω
2
0 X
2 (0).
Que dire de l’allure d’une trajectoire de phase de l’oscillateur harmonique ?
L’équation 11.9 est l’équation cartésienne d’une ellipse, de demi-axe a selon l’axe des X et de
demi-axe ω 0 a selon l’axe des ˙
X.
X
˙
X
O
a
−a
ω 0 a
−ω 0 a
(1)
(2)
Figure 11.10. Trajectoire de phase.
X
˙
X
O
Figure 11.11. Portrait de phase.
La figure 11.10 représente une trajectoire de phase de l’oscillateur harmonique.
• Elle coupe l’axe des abscisses en X = ±a lorsque ˙
X = 0 et celui des ordonnées en ˙
X = ±ω 0 a
lorsque X = 0.
• Elle se parcourt de gauche à droite dans la partie supérieure (1), dans laquelle ˙
X > 0 (X
croît) et de droite à gauche dans la partie inférieure (2) dans laquelle ˙
X < 0 (X décroît).
• Elle est fermée et tourne autour du point représentant l’état d’équilibre de l’oscillateur (X eq = 0 et ˙
X = 0).
La figure 11.11 représente un portrait de phase de l’oscillateur harmonique sur lequel sont superposées des trajectoires de phase correspondant à des conditions initiales différentes.
Les allures des trajectoires de phase dépendent de l’équation différentielle satisfaite par
la grandeur étudiée et peuvent être très différentes de celles de l’oscillateur harmonique.
Nous renvoyons le lecteur intéressé aux chapitres 7 et 12 dans lesquels sont présentés
d’autres portraits de phase.
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