294 Chapitre 11
Loi de la quantité de mouvement
Lorsqu’un solide est accroché à un fil tendu, il est soumis de la part de celui-ci, au niveau de
son point d’accrochage M , à une force de tension
#»
T . Cette force, dirigée parallèlement à l’axe
du fil, du solide vers le fil, peut se mettre sous la forme :
#»
T = −T
# »
OM
# »
OM
où T =
#»
T > 0.
Définition : La tension d’un fil
L’expression du module T de la tension d’un fil n’est a priori pas connue et doit être
considérée comme une inconnue du problème.
Dans le cas de notre pendule, la tension du fil s’écrit dans la base ( #» u r , #» u θ ) :
#»
T = −T #» u r .
Nous appliquons la loi de la quantité de mouvement et nous obtenons l’équation du mouvement :
m #» a =
#»
P +
#»
T
Le mouvement étant circulaire, il est aisé, en utilisant la méthode 10.3 du chapitre 10, de retrouver
l’expression du vecteur accélération dans la base polaire et de projeter l’équation du mouvement
sur #» u r et sur #» u θ :
−ml ˙
θ
2 = mg cos(θ) − T selon ( #» u r )
ml ¨
θ = −mg sin(θ)
selon ( #» u θ )
Nous obtenons ainsi un système de deux équations dont les inconnues sont T et θ. La deuxième
équation constitue une équation différentielle vérifiée par le paramètre θ(t). C’est l’équation du
mouvement. En posant ω 0 =
g
l
, elle peut se mettre sous la forme : ¨
θ + ω
2
0 sin(θ) = 0.
C’est une équation différentielle non linéaire du deuxième ordre dont la résolution analytique
n’est pas possible et qui nécessite une approche numérique. Toutefois si on se limite, dans le cadre
de l’approximation harmonique, au cas des mouvements de faible amplitude (typiquement
|θ| < 15°), on peut assimiler sin(θ) à θ. On obtient :
(11.7)
¨
θ + ω
2
0 θ = 0
Nous reconnaissons l’équation différentielle de l’oscillateur harmonique, dont la résolution
a déjà été présentée dans le chapitre 1. Sa solution générale est de la forme :
θ(t) = A cos (ω 0 t) + B sin (ω 0 t)
En prenant comme conditions initiales à t = 0 : θ(0) = θ 0 et ˙
θ(0) = ˙
θ 0 , on obtient :
θ(t) = θ 0 cos (ω 0 t) +
˙
θ 0
ω 0
sin (ω 0 t)
C’est l’équation horaire du mouvement.
θ(t) étant connue, T peut ensuite se déduire de l’équation −ml ˙
θ
2 = mg cos(θ) − T .
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Loi de la quantité de mouvement
Lorsqu’un solide est accroché à un fil tendu, il est soumis de la part de celui-ci, au niveau de
son point d’accrochage M , à une force de tension
#»
T . Cette force, dirigée parallèlement à l’axe
du fil, du solide vers le fil, peut se mettre sous la forme :
#»
T = −T
# »
OM
# »
OM
où T =
#»
T > 0.
Définition : La tension d’un fil
L’expression du module T de la tension d’un fil n’est a priori pas connue et doit être
considérée comme une inconnue du problème.
Dans le cas de notre pendule, la tension du fil s’écrit dans la base ( #» u r , #» u θ ) :
#»
T = −T #» u r .
Nous appliquons la loi de la quantité de mouvement et nous obtenons l’équation du mouvement :
m #» a =
#»
P +
#»
T
Le mouvement étant circulaire, il est aisé, en utilisant la méthode 10.3 du chapitre 10, de retrouver
l’expression du vecteur accélération dans la base polaire et de projeter l’équation du mouvement
sur #» u r et sur #» u θ :
−ml ˙
θ
2 = mg cos(θ) − T selon ( #» u r )
ml ¨
θ = −mg sin(θ)
selon ( #» u θ )
Nous obtenons ainsi un système de deux équations dont les inconnues sont T et θ. La deuxième
équation constitue une équation différentielle vérifiée par le paramètre θ(t). C’est l’équation du
mouvement. En posant ω 0 =
g
l
, elle peut se mettre sous la forme : ¨
θ + ω
2
0 sin(θ) = 0.
C’est une équation différentielle non linéaire du deuxième ordre dont la résolution analytique
n’est pas possible et qui nécessite une approche numérique. Toutefois si on se limite, dans le cadre
de l’approximation harmonique, au cas des mouvements de faible amplitude (typiquement
|θ| < 15°), on peut assimiler sin(θ) à θ. On obtient :
(11.7)
¨
θ + ω
2
0 θ = 0
Nous reconnaissons l’équation différentielle de l’oscillateur harmonique, dont la résolution
a déjà été présentée dans le chapitre 1. Sa solution générale est de la forme :
θ(t) = A cos (ω 0 t) + B sin (ω 0 t)
En prenant comme conditions initiales à t = 0 : θ(0) = θ 0 et ˙
θ(0) = ˙
θ 0 , on obtient :
θ(t) = θ 0 cos (ω 0 t) +
˙
θ 0
ω 0
sin (ω 0 t)
C’est l’équation horaire du mouvement.
θ(t) étant connue, T peut ensuite se déduire de l’équation −ml ˙
θ
2 = mg cos(θ) − T .
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