292 Chapitre 11
Loi de la quantité de mouvement
Quel est le modèle le mieux adapté à l’étude du mouvement du volant ?
Commençons par tester le modèle linéaire de force de frottement fluide :
#»
F = −α #» v . La loi de la
quantité du mouvement conduit à l’équation du mouvement suivante :
(11.5)
m #» a =
#»
P +
#»
F ⇐⇒
d #» v
dt
R
= #» g −
α
m
#» v ⇐⇒
d #» v
dt
R
+
α
m
#» v = #» g
Cette équation différentielle (11.5), linéaire à second membre constant, fait apparaître une vitesse
limite puisque, lorsque
d #» v
dt
R
−→
#»
0 , #» v −→ #» v lim =
m #» g
α
. On en déduit que le mouvement tend
vers un mouvement rectiligne vertical uniforme et descendant.
Par projection de l’équation du mouvement (11.5) respectivement sur #» u x et #» u y , nous obtenons :
˙
v x = −
α
m
v x et ˙
v y = −
α
m
v y − g
Puis par intégration, compte tenu des conditions initiales v x (0) = v x0 et v y (0) = v y0 :
v x = v x0 exp
−
α
m
t
et v y =
v y0 +
mg
α
exp
−
α
m
t
−
mg
α
En ajustant à la main la valeur de α, nous tentons de rapprocher au mieux les courbes issues de
cette modélisation de celles issues de l’expérience. Notre meilleur résultat est présenté figure 11.6.
Testons maintenant le modèle quadratique de frottement fluide :
#»
F = −β #» v #» v .
La loi de la quantité du mouvement conduit à l’équation du mouvement suivante :
(11.6)
m #» a =
#»
P +
#»
F ⇐⇒
d #» v
dt
R
= #» g −
β
m
#» v #» v
Cette équation différentielle (11.6) fait également apparaître une vitesse limite #» v lim = −
mg
β
#» u y
et donc comme précédemment un mouvement limite rectiligne vertical uniforme et descendant.
Par projection de l’équation du mouvement (11.6) respectivement sur #» u x et #» u y , nous obtenons :
˙
v x = −
β
m
v 2
x + v 2
y
v x et ˙
v y = −
β
m
v 2
x + v 2
y
v y − g
La résolution analytique de ce système d’équations différentielles couplées non linéaires n’est pas
possible. L’écriture d’un script Python utilisant la méthode d’Euler permet d’obtenir une solution numérique. En ajustant à la main la valeur de β, nous tentons à nouveau de rapprocher
aux mieux les courbes issues de cette modélisation de celles issues de l’expérience. Notre meilleur
résultat est présenté sur la figure 11.7.
partagelivrescpge.blogspot.com
Loi de la quantité de mouvement
Quel est le modèle le mieux adapté à l’étude du mouvement du volant ?
Commençons par tester le modèle linéaire de force de frottement fluide :
#»
F = −α #» v . La loi de la
quantité du mouvement conduit à l’équation du mouvement suivante :
(11.5)
m #» a =
#»
P +
#»
F ⇐⇒
d #» v
dt
R
= #» g −
α
m
#» v ⇐⇒
d #» v
dt
R
+
α
m
#» v = #» g
Cette équation différentielle (11.5), linéaire à second membre constant, fait apparaître une vitesse
limite puisque, lorsque
d #» v
dt
R
−→
#»
0 , #» v −→ #» v lim =
m #» g
α
. On en déduit que le mouvement tend
vers un mouvement rectiligne vertical uniforme et descendant.
Par projection de l’équation du mouvement (11.5) respectivement sur #» u x et #» u y , nous obtenons :
˙
v x = −
α
m
v x et ˙
v y = −
α
m
v y − g
Puis par intégration, compte tenu des conditions initiales v x (0) = v x0 et v y (0) = v y0 :
v x = v x0 exp
−
α
m
t
et v y =
v y0 +
mg
α
exp
−
α
m
t
−
mg
α
En ajustant à la main la valeur de α, nous tentons de rapprocher au mieux les courbes issues de
cette modélisation de celles issues de l’expérience. Notre meilleur résultat est présenté figure 11.6.
Testons maintenant le modèle quadratique de frottement fluide :
#»
F = −β #» v #» v .
La loi de la quantité du mouvement conduit à l’équation du mouvement suivante :
(11.6)
m #» a =
#»
P +
#»
F ⇐⇒
d #» v
dt
R
= #» g −
β
m
#» v #» v
Cette équation différentielle (11.6) fait également apparaître une vitesse limite #» v lim = −
mg
β
#» u y
et donc comme précédemment un mouvement limite rectiligne vertical uniforme et descendant.
Par projection de l’équation du mouvement (11.6) respectivement sur #» u x et #» u y , nous obtenons :
˙
v x = −
β
m
v 2
x + v 2
y
v x et ˙
v y = −
β
m
v 2
x + v 2
y
v y − g
La résolution analytique de ce système d’équations différentielles couplées non linéaires n’est pas
possible. L’écriture d’un script Python utilisant la méthode d’Euler permet d’obtenir une solution numérique. En ajustant à la main la valeur de β, nous tentons à nouveau de rapprocher
aux mieux les courbes issues de cette modélisation de celles issues de l’expérience. Notre meilleur
résultat est présenté sur la figure 11.7.
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