290 Chapitre 11
Loi de la quantité de mouvement
En intégrant une seconde fois par rapport au temps et en tenant compte des conditions initiales :
⎧
⎨
⎩
x = x 0 + v x0 t
selon ( #» u x )
y = y 0 + v y0 t −
1
2
gt
2
selon ( #» u y )
Ce sont les 2 équations horaires du mouvement.
Quelle est l’équation de la trajectoire du ballon ?
L’équation de la trajectoire d’un point est l’équation reliant ses paramètres de position, sans
faire intervenir le temps.
Définition : Équation de la trajectoire
En éliminant le temps entre les deux équations horaires, nous obtenons l’équation de la trajectoire.
De l’expression de x(t) on déduit : t =
x − x 0
v x0
, que l’on reporte dans celle de y(t) :
y = −
g
2v 2
x0
(x − x 0 )
2 +
v y0
v x0
(x − x 0 )+y 0 = −
g
2v 2
x0
x
2 +
g
v 2
x0
x 0 +
v y0
v x0
x+
y 0 −
g
2v 2
x0
x
2
0 −
v y0
v x0
x 0
Cette équation cartésienne est celle d’une parabole. En prenant x 0 = 6,1 · 10
−1 m, y 0 = 2,3 m,
v x0 = 3,4 m · s
−1 , v y0 = 6,1 m · s
−1 et g = 9,8 m · s
−2 , nous avons pu vérifier que cette parabole se
superpose correctement à la trajectoire expérimentale (figure 11.1). Le modèle est donc satisfaisant.
Nous venons de voir sur l’exemple précédent que la loi de la quantité de mouvement (deuxième loi
de Newton) permet de faire l’étude du mouvement du centre de masse d’un système.
• Choisir le référentiel (galiléen) d’étude.
• Choisir un repère adapté au problème.
• Réaliser un bilan des forces appliquées.
• Appliquer la loi de la quantité de mouvement pour obtenir l’équation du mouvement.
• Projeter l’équation du mouvement sur les vecteurs de base.
• Déterminer les équations horaires du mouvement par résolution des équations différentielles obtenues, en tenant compte des conditions initiales.
• Déterminer l’équation de la trajectoire par élimination du temps entre les équations
horaires.
Méthode 11.1 : Étude d’un mouvement à l’aide de la deuxième loi de Newton
Exercices (11.1) (11.2)
La loi de la quantité de mouvement fournit une équation différentielle du deuxième
ordre. Pour en déduire l’équation horaire, deux conditions initiales sont nécessaires,
l’une portant sur la position, l’autre sur la vitesse.
Passons maintenant à l’étude du mouvement du centre de masse G du volant de badminton.
partagelivrescpge.blogspot.com
Loi de la quantité de mouvement
En intégrant une seconde fois par rapport au temps et en tenant compte des conditions initiales :
⎧
⎨
⎩
x = x 0 + v x0 t
selon ( #» u x )
y = y 0 + v y0 t −
1
2
gt
2
selon ( #» u y )
Ce sont les 2 équations horaires du mouvement.
Quelle est l’équation de la trajectoire du ballon ?
L’équation de la trajectoire d’un point est l’équation reliant ses paramètres de position, sans
faire intervenir le temps.
Définition : Équation de la trajectoire
En éliminant le temps entre les deux équations horaires, nous obtenons l’équation de la trajectoire.
De l’expression de x(t) on déduit : t =
x − x 0
v x0
, que l’on reporte dans celle de y(t) :
y = −
g
2v 2
x0
(x − x 0 )
2 +
v y0
v x0
(x − x 0 )+y 0 = −
g
2v 2
x0
x
2 +
g
v 2
x0
x 0 +
v y0
v x0
x+
y 0 −
g
2v 2
x0
x
2
0 −
v y0
v x0
x 0
Cette équation cartésienne est celle d’une parabole. En prenant x 0 = 6,1 · 10
−1 m, y 0 = 2,3 m,
v x0 = 3,4 m · s
−1 , v y0 = 6,1 m · s
−1 et g = 9,8 m · s
−2 , nous avons pu vérifier que cette parabole se
superpose correctement à la trajectoire expérimentale (figure 11.1). Le modèle est donc satisfaisant.
Nous venons de voir sur l’exemple précédent que la loi de la quantité de mouvement (deuxième loi
de Newton) permet de faire l’étude du mouvement du centre de masse d’un système.
• Choisir le référentiel (galiléen) d’étude.
• Choisir un repère adapté au problème.
• Réaliser un bilan des forces appliquées.
• Appliquer la loi de la quantité de mouvement pour obtenir l’équation du mouvement.
• Projeter l’équation du mouvement sur les vecteurs de base.
• Déterminer les équations horaires du mouvement par résolution des équations différentielles obtenues, en tenant compte des conditions initiales.
• Déterminer l’équation de la trajectoire par élimination du temps entre les équations
horaires.
Méthode 11.1 : Étude d’un mouvement à l’aide de la deuxième loi de Newton
Exercices (11.1) (11.2)
La loi de la quantité de mouvement fournit une équation différentielle du deuxième
ordre. Pour en déduire l’équation horaire, deux conditions initiales sont nécessaires,
l’une portant sur la position, l’autre sur la vitesse.
Passons maintenant à l’étude du mouvement du centre de masse G du volant de badminton.
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