Corrections 279
Exercice 10.2
1. Pendant une durée Δt = 1 s, la cote de M croît de la hauteur d’une marche : Δz = H. D’où :
˙
z = vz =
Δz
Δt
= 20 cm · s
−1 .
vz étant constante, le mouvement n’est pas accéléré selon Oz et puisque z(0) = 0, z(t) = vzt.
2. Pendant une durée Δt = 1 s, θ varie de l’angle d’une marche : Δθ = α.
a. On en déduit la vitesse angulaire : ˙
θ = ω =
Δθ
Δt
= 0,52 rad · s
−1 . Celle-ci étant constante, M0 est
mouvement circulaire uniforme de rayon r. On a donc θ(t) = θ0 + ωt.
b. #» v (M0) = r ˙
θ #» u θ et #» a (M0) = −r ˙
θ
2 #» ur. v(M0) = r ˙
θ = 0,31 m · s
−1 .
3. En notant Δt la durée de montée d’une marche : Δt =
H
˙
z
=
α
˙
θ
, d’où on déduit : ˙
z =
H
α
˙
θ
4.
# »
OM =
# »
OM0 +
#
»
M0M = z #» uz + r #» ur. D’où par dérivation, r, ˙
z et ˙
θ étant constants :
#» v (M ) = ˙
z #» uz + r ˙
θ #» u θ et #» a (M ) = −r ˙
θ
2 #» ur
Exercice 10.3
1. Le forain se déplace à vitesse constante v0 selon la droite (O, #» ur), fixe par rapport au manège, de la
périphérie vers le centre et r(0) = R donc r(t) = R − v0t.
Le manège tourne à vitesse angulaire constante ω0 et θ(0) = 0, donc θ(t) = ω0t.
2.
# »
OM = r(t) #» ur = (R − v0t) #» ur
#» v =
d
# »
OM
dt
R
= ˙
r #» ur + r
d #» ur
dt
R
= ˙
r #» ur + r ˙
θ #» u θ = −v0 #» ur + (R − v0t)ω0 #» u θ
#» a =
d #» v
dt
R
= −v0
d #» ur
dt
R
− v0ω0 #» u θ + (R − v0t)ω0
d #» u θ
dt
R
= −v0 ˙
θ #» u θ − v0ω0 #» u θ − (R − v0t)ω0 ˙
θ #» ur
#» a = −(R − v0t)ω
2
0
#» ur − 2v0ω0 #» u θ
3. v(t) =
v
2
0 + (R − v0t) 2 ω
2
0 . D’où : vmax = v(0) =
v
2
0 + R 2 ω
2
0 = 5,1 m · s
−1 .
4. a(t) =
(R − v0t) 2 ω
4
0 + 4v
2
0 ω
2
0 . D’où : amax = a(0) = ω0
4v
2
0 + R 2 ω
2
0 = ω0
4v
2
0 + R 2 ω
2
0 = 5,4 m · s
−2 .
Exercice 10.4
1. #» ur = cos θ #» ux + sin θ #» uy et #» u θ = − sin θ #» ux + cos θ #» uy
2. On en déduit par dérivation par rapport à θ :
d #» ur
dθ
= − sin θ #» ux +cos θ #» uy et
d #» u θ
dθ
= − cos θ #» ux −sin θ #» uy.
Puis :
d #» ur
dt
R
=
d #» ur
dθ
dθ
dt
= ˙
θ(− sin θ #» ux + cos θ #» uy) et
d #» u θ
dt
R
=
d #» u θ
dθ
dθ
dt
= − ˙
θ(cos θ #» ux + sin θ #» uy).
3. En réinjectant dans ces expressions celles de #» ur et #» u θ dans la base ( #» ux, #» uy) on obtient :
d #» u r
dt
= ˙
θ #» u θ et
d #» u θ
dt
= − ˙
θ #» u r
4. #» v (M ) =
d
# »
OM
dt
R
=
d(r #» ur)
dt
R
= ˙
r #» ur + r
d( #» ur)
dt
R
= ˙
r #» ur + r ˙
θ #» u θ
#» a (M ) =
d #» v (M )
dt
R
=
d( ˙
r #» ur)
dt
R
+
d(r ˙
θ #» u θ )
dt
R
= ¨
r #» ur + ˙
r
d #» ur
dt
R
+ ˙
r ˙
θ #» u θ + r ¨
θ #» u θ + r ˙
θ
d #» u θ
dt
R
#» a (M ) = ¨
r #» ur + ˙
r ˙
θ #» u θ + ˙
r ˙
θ #» u θ + r ¨
θ #» u θ − r ˙
θ
2 #» ur
#» a = (¨ r − r ˙
θ
2 ) #» ur + (2 ˙
r ˙
θ + r ¨
θ) #» u θ
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