278 Chapitre 10
Cinématique du point et du solide
Corrections
Interro de cours
1. On peut utiliser les coordonnées cartésiennes ou cylindriques.
Réponses (b) et (c).
2. En raisonnant sur le schéma ci-contre (attention à bien positionner r et θ), il vient : x = r cos θ et y = r sin θ. Réponse
(c).
En coordonnées cylindriques, r désigne OK =
x 2 + y 2 où
K est le projeté orthogonal de M sur le plan xOy. On verra,
plus tard, le système des coordonnées sphériques pour lequel
r désigne OM =
x 2 + y 2 + z 2 .
3. Réponse (c). Attention, il ne faut pas confondre les coordonnées du point M qui sont (r,θ,z) et les composantes du vecteur
# »
OM qui sont (r,0,z). Le vecteur
# »
OM , étant dans le plan
(O, #» ur, #» uz), ne possède pas de composante orthoradiale (sur
#» u θ ).
4. Réponse (c). Dériver #» ur et utiliser
d #» ur
dt
= ˙
θ #» u θ .
#» u z
O
y
z
x
M
H
•
•
K
r
θ
#» u r
#» u θ
5. #» v = ˙
r #» ur + r ˙
θ #» u θ + ˙
z #» uz = v1 #» u θ + v2 #» uz. D’où ˙
r = 0 et ˙
θ =
v1
r
. On en déduit que r et ˙
θ sont constants
et que le point K est donc en mouvement circulaire uniforme autour de O. Par ailleurs, ˙
z étant égale
à v2, est constante. La composante verticale du mouvement de M est donc uniforme. Les réponses (a)
et (b) sont incorrectes.
6. Réponse (c).
7. Il s’agit du calcul de la norme d’un vecteur à deux composantes. Réponse (b).
8. Réponse (b). En effet, #» v (M ) = v1 #» u θ et donc #» a (M ) = v1
d #» u θ
dt
= −v1 ˙
θ #» ur = −
v
2
1
r0
#» ur. Attention, le
vecteur vitesse est constant en norme mais pas en direction, l’accélération de M n’est donc pas nulle !
9. ω > 0 élimine la réponse (a) pour laquelle ˙
θ < 0. Pour les deux autres réponses : θ = ωt (puisque ω
constante et θ(0) = 0) et r = r0
1 +
ωt
π
. Cela se traduit par un point M tournant autour de O dans
le sens positif en s’en éloignant. Donc, réponse (b).
10. θ(τ ) = ωτ =
3π
2
. Donc τ =
3π
2ω
. Réponse (b).
11. Le disque tourne autour de son axe avec une certaine vitesse angulaire. Cette vitesse angulaire est
valable pour tous les points constitutifs du disque. Par contre, un point proche du centre aura une
vitesse plus faible qu’un point à la périphérie. Réponse (c).
12. Le périphérique est en mouvement de translation circulaire. Réponse (b).
Exercice 10.1
vx =
x2 − x1
t2 − t1
=
0, 250 − 0, 125
0, 050 − 0, 025
= 5,00 m · s
−1 et vz =
z2 − z1
t2 − t1
=
0, 420 − 0, 213
0, 050 − 0, 250
= 8,28 m · s
−1
#» v = vx #» ux + vz #» uz et v =
√
v
2
x + v
2
z = 9,67 m · s
−1
partagelivrescpge.blogspot.com
Cinématique du point et du solide
Corrections
Interro de cours
1. On peut utiliser les coordonnées cartésiennes ou cylindriques.
Réponses (b) et (c).
2. En raisonnant sur le schéma ci-contre (attention à bien positionner r et θ), il vient : x = r cos θ et y = r sin θ. Réponse
(c).
En coordonnées cylindriques, r désigne OK =
x 2 + y 2 où
K est le projeté orthogonal de M sur le plan xOy. On verra,
plus tard, le système des coordonnées sphériques pour lequel
r désigne OM =
x 2 + y 2 + z 2 .
3. Réponse (c). Attention, il ne faut pas confondre les coordonnées du point M qui sont (r,θ,z) et les composantes du vecteur
# »
OM qui sont (r,0,z). Le vecteur
# »
OM , étant dans le plan
(O, #» ur, #» uz), ne possède pas de composante orthoradiale (sur
#» u θ ).
4. Réponse (c). Dériver #» ur et utiliser
d #» ur
dt
= ˙
θ #» u θ .
#» u z
O
y
z
x
M
H
•
•
K
r
θ
#» u r
#» u θ
5. #» v = ˙
r #» ur + r ˙
θ #» u θ + ˙
z #» uz = v1 #» u θ + v2 #» uz. D’où ˙
r = 0 et ˙
θ =
v1
r
. On en déduit que r et ˙
θ sont constants
et que le point K est donc en mouvement circulaire uniforme autour de O. Par ailleurs, ˙
z étant égale
à v2, est constante. La composante verticale du mouvement de M est donc uniforme. Les réponses (a)
et (b) sont incorrectes.
6. Réponse (c).
7. Il s’agit du calcul de la norme d’un vecteur à deux composantes. Réponse (b).
8. Réponse (b). En effet, #» v (M ) = v1 #» u θ et donc #» a (M ) = v1
d #» u θ
dt
= −v1 ˙
θ #» ur = −
v
2
1
r0
#» ur. Attention, le
vecteur vitesse est constant en norme mais pas en direction, l’accélération de M n’est donc pas nulle !
9. ω > 0 élimine la réponse (a) pour laquelle ˙
θ < 0. Pour les deux autres réponses : θ = ωt (puisque ω
constante et θ(0) = 0) et r = r0
1 +
ωt
π
. Cela se traduit par un point M tournant autour de O dans
le sens positif en s’en éloignant. Donc, réponse (b).
10. θ(τ ) = ωτ =
3π
2
. Donc τ =
3π
2ω
. Réponse (b).
11. Le disque tourne autour de son axe avec une certaine vitesse angulaire. Cette vitesse angulaire est
valable pour tous les points constitutifs du disque. Par contre, un point proche du centre aura une
vitesse plus faible qu’un point à la périphérie. Réponse (c).
12. Le périphérique est en mouvement de translation circulaire. Réponse (b).
Exercice 10.1
vx =
x2 − x1
t2 − t1
=
0, 250 − 0, 125
0, 050 − 0, 025
= 5,00 m · s
−1 et vz =
z2 − z1
t2 − t1
=
0, 420 − 0, 213
0, 050 − 0, 250
= 8,28 m · s
−1
#» v = vx #» ux + vz #» uz et v =
√
v
2
x + v
2
z = 9,67 m · s
−1
partagelivrescpge.blogspot.com