280 Chapitre 10
Cinématique du point et du solide
Exercice 10.5
1. θA(t) = θ0 cos(ω0t) et θB(t) = θ0 cos(ω0t) + α. Les points A et B ont donc même vitesse angulaire. À
tout instant, leurs vecteurs vitesse ont même module, mais des directions différentes. Il en est de même
de leurs vecteurs accélération.
2. En notant ( #» ur,A, #» u θ,A ) la base polaire associée à A : #» v A = R ˙
θA #» u θ,A = −Rθ0ω0 sin(ω0t) #» u θ,A
et #» a A = −R ˙
θ
2
A
#» ur,A + R ¨
θA #» u θ,A = −Rθ0ω
2
0 (θ0 sin
2 (ω0t) #» ur,A + cos(ω0t) #» u θ,A ).
De même en notant ( #» ur,B, #» u θ,B ) la base polaire associée à B :
#» v B = −Rθ0ω0 sin(ω0t) #» u θ,B et #» a B = −Rθ0ω
2
0 (θ0 sin
2 (ω0t) #» ur,B + cos(ω0t) #» u θ,B ).
D’où on déduit vAmax = vBmax = Rθ0ω0 = 25 m · s
−1 .
3. Le passager A n’a jamais la tête en bas puisqu’à toute date |θ(t)|
π
2
. Par contre lorsque |θ(t)+α| >
π
2
le passager B a la tête en bas ce qui lui procure des sensations plus intenses.
Exercice 10.6
1. Les cas (B) et (D) ne correspondent pas à la réalité. En (B), le mouvement étant rectiligne, le vecteur
accélération doit être dirigé dans la direction de ce mouvement. En (D), le mouvement étant circulaire,
le vecteur accélération doit être dirigé vers l’intérieur de la trajectoire.
2. En (C) le mouvement est rectiligne. De plus, le point se dirigeant vers la droite : #» a C . #» v C > 0. Le
mouvement est donc accéléré.
3. En (A), le mouvement est un mouvement circulaire de rayon R. De plus le point se dirigeant vers la
droite : #» a A.
#» v A > 0. Le mouvement est donc accéléré.
L’accélération normale a pour norme
v
2
A
R
= #» a A cos(α), d’où : vA =
R #» a A cos(α) = 2,2 m · s
−1 .
Exercice 10.7
1. La méthode pour résoudre cet exercice consiste à déterminer le signe du produit scalaire #» v . #» a en
observant la projection du vecteur #» a sur la direction du vecteur #» v .
Pour la portion (1) : #» v . #» a < 0 : nous en déduisons donc que #» v décroît avec le temps.
Pour la portion (2) : #» v . #» a > 0 : nous en déduisons donc que #» v croît avec le temps.
Pour la portion (3) : #» v . #» a = 0 : #» v est constante, le mouvement est uniforme.
2. Nous nous plaçons dans la base polaire ( #» ur, #» u θ ) définie comme suit : #» ur =
# »
OP
R
, #» u θ =
#» v
#» v
. Le vecteur
position dans cette base est
# »
OP = R #» ur. En le dérivant dans le référentiel d’étude, nous obtenons
#» v = R
d #» ur
dt
= Rω #» u θ avec ω la vitesse angulaire de ce mouvement circulaire. Nous en déduisons
ω =
#» v
R
. Cette vitesse angulaire est constante car le mouvement est uniforme.
En dérivant #» v dans le référentiel d’étude, nous obtenons #» a = Rω
d #» u θ
dt
= −Rω
2 #» ur = −
#» v
2
R
#» ur ; il
vient donc #» a =
#» v
2
R
.
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Cinématique du point et du solide
Exercice 10.5
1. θA(t) = θ0 cos(ω0t) et θB(t) = θ0 cos(ω0t) + α. Les points A et B ont donc même vitesse angulaire. À
tout instant, leurs vecteurs vitesse ont même module, mais des directions différentes. Il en est de même
de leurs vecteurs accélération.
2. En notant ( #» ur,A, #» u θ,A ) la base polaire associée à A : #» v A = R ˙
θA #» u θ,A = −Rθ0ω0 sin(ω0t) #» u θ,A
et #» a A = −R ˙
θ
2
A
#» ur,A + R ¨
θA #» u θ,A = −Rθ0ω
2
0 (θ0 sin
2 (ω0t) #» ur,A + cos(ω0t) #» u θ,A ).
De même en notant ( #» ur,B, #» u θ,B ) la base polaire associée à B :
#» v B = −Rθ0ω0 sin(ω0t) #» u θ,B et #» a B = −Rθ0ω
2
0 (θ0 sin
2 (ω0t) #» ur,B + cos(ω0t) #» u θ,B ).
D’où on déduit vAmax = vBmax = Rθ0ω0 = 25 m · s
−1 .
3. Le passager A n’a jamais la tête en bas puisqu’à toute date |θ(t)|
π
2
. Par contre lorsque |θ(t)+α| >
π
2
le passager B a la tête en bas ce qui lui procure des sensations plus intenses.
Exercice 10.6
1. Les cas (B) et (D) ne correspondent pas à la réalité. En (B), le mouvement étant rectiligne, le vecteur
accélération doit être dirigé dans la direction de ce mouvement. En (D), le mouvement étant circulaire,
le vecteur accélération doit être dirigé vers l’intérieur de la trajectoire.
2. En (C) le mouvement est rectiligne. De plus, le point se dirigeant vers la droite : #» a C . #» v C > 0. Le
mouvement est donc accéléré.
3. En (A), le mouvement est un mouvement circulaire de rayon R. De plus le point se dirigeant vers la
droite : #» a A.
#» v A > 0. Le mouvement est donc accéléré.
L’accélération normale a pour norme
v
2
A
R
= #» a A cos(α), d’où : vA =
R #» a A cos(α) = 2,2 m · s
−1 .
Exercice 10.7
1. La méthode pour résoudre cet exercice consiste à déterminer le signe du produit scalaire #» v . #» a en
observant la projection du vecteur #» a sur la direction du vecteur #» v .
Pour la portion (1) : #» v . #» a < 0 : nous en déduisons donc que #» v décroît avec le temps.
Pour la portion (2) : #» v . #» a > 0 : nous en déduisons donc que #» v croît avec le temps.
Pour la portion (3) : #» v . #» a = 0 : #» v est constante, le mouvement est uniforme.
2. Nous nous plaçons dans la base polaire ( #» ur, #» u θ ) définie comme suit : #» ur =
# »
OP
R
, #» u θ =
#» v
#» v
. Le vecteur
position dans cette base est
# »
OP = R #» ur. En le dérivant dans le référentiel d’étude, nous obtenons
#» v = R
d #» ur
dt
= Rω #» u θ avec ω la vitesse angulaire de ce mouvement circulaire. Nous en déduisons
ω =
#» v
R
. Cette vitesse angulaire est constante car le mouvement est uniforme.
En dérivant #» v dans le référentiel d’étude, nous obtenons #» a = Rω
d #» u θ
dt
= −Rω
2 #» ur = −
#» v
2
R
#» ur ; il
vient donc #» a =
#» v
2
R
.
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