Exercices 275
Exercice 10.13 Mouvement cycloïdal
Un cycliste roule dans la direction de l’axe Ox à la
vitesse uniforme #» v 0 = v 0
#» u x dans le référentiel terrestre R repéré par (O,x,y,z). Les roues de son vélo
sont schématisées par des cercles de rayon R et un des
pneus est marqué d’un point A. En absence de glissement sur le sol, la vitesse de rotation ω 0 des roues est
liée à v 0 par la relation v 0 = Rω 0 .
À t = 0 le centre C de la roue se trouve sur l’axe Oz.
x
z
Oy
•
C
•
A
#» v 0
θ
×
R
Par simulation numérique, nous avons tracé deux courbes. Celle de gauche représente l’évolution
de l’ordonnée z de A en fonction du temps, celle de droite la trajectoire de A (cycloïde) dans R.
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
1.2
1.4
t (s)
−0.1
0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
z (m)
0
2
4
6
8
10
12
14
x (m)
−0.1
0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
z (m)
1. Caractériser le mouvement du point A dans le référentiel R
en mouvement de translation de
vitesse #» v 0 par rapport à R et dans lequel le centre C de la roue est fixe. Écrire les vecteurs
vitesse et accélération de A dans R
.
2. Exploiter les simulations numériques pour déterminer ω 0 , R et v 0 . Vérifier que la roue ne glisse
pas sur le sol.
3. Déterminer, dans le référentiel R, les coordonnées cartésiennes x(t) et z(t) du point A puis
celles de ses vecteurs vitesse et accélération.
4. Comparer les vitesses puis les accélérations de A dans les deux référentiels R et R
.
© Dunod. Toute reproduction non autorisée est un délit.
partagelivrescpge.blogspot.com
Exercice 10.13 Mouvement cycloïdal
Un cycliste roule dans la direction de l’axe Ox à la
vitesse uniforme #» v 0 = v 0
#» u x dans le référentiel terrestre R repéré par (O,x,y,z). Les roues de son vélo
sont schématisées par des cercles de rayon R et un des
pneus est marqué d’un point A. En absence de glissement sur le sol, la vitesse de rotation ω 0 des roues est
liée à v 0 par la relation v 0 = Rω 0 .
À t = 0 le centre C de la roue se trouve sur l’axe Oz.
x
z
Oy
•
C
•
A
#» v 0
θ
×
R
Par simulation numérique, nous avons tracé deux courbes. Celle de gauche représente l’évolution
de l’ordonnée z de A en fonction du temps, celle de droite la trajectoire de A (cycloïde) dans R.
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
1.2
1.4
t (s)
−0.1
0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
z (m)
0
2
4
6
8
10
12
14
x (m)
−0.1
0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
z (m)
1. Caractériser le mouvement du point A dans le référentiel R
en mouvement de translation de
vitesse #» v 0 par rapport à R et dans lequel le centre C de la roue est fixe. Écrire les vecteurs
vitesse et accélération de A dans R
.
2. Exploiter les simulations numériques pour déterminer ω 0 , R et v 0 . Vérifier que la roue ne glisse
pas sur le sol.
3. Déterminer, dans le référentiel R, les coordonnées cartésiennes x(t) et z(t) du point A puis
celles de ses vecteurs vitesse et accélération.
4. Comparer les vitesses puis les accélérations de A dans les deux référentiels R et R
.
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