274 Chapitre 10
Cinématique du point et du solide
1. Déterminer les vecteurs vitesse #» v (M ) et position
# »
AM du skieur à chaque instant au cours de
cette première phase.
2. À quel instant le skieur arrive-t-il en B ? Quelle vitesse possède-t-il alors ?
Entre B et C le mouvement de M est circulaire et l’angle θ permet de repérer sa position. La
vitesse angulaire ˙
θ dépend de θ selon la loi ˙
θ = ω 0
cos(α − θ) + β où ω 0 = 1,4 rad · s
−1 et β est
une constante.
3. Déterminer la constante β.
4. Exprimer les vecteurs vitesse et l’accélération de M en utilisant une base polaire adaptée.
Qualifier le mouvement de M .
5. Déterminer la vitesse du skieur en C.
Exercice 10.11 Freinage d’un objet par frottements
On considère un objet assimilé à un point matériel M susceptible de se déplacer selon l’axe Ox. À
t = 0 il se trouve en O et sa vitesse vaut #» v 0 = v 0
#» u x avec v 0 = 1,0 m · s
−1 .
x
O
M
•
•
1. L’objet subit une force de frottement solide de sorte que son accélération peut être supposée
constante et égale à #» a 0 = −a 0
# »
u x avec a 0 = 1,0 m · s
−2 , jusqu’à son arrêt. Déterminer sa vitesse
et sa position au cours du temps ainsi que la distance totale parcourue.
2. L’objet subit une force de frottement fluide de sorte que son accélération #» a (M ) est reliée à sa
vitesse #» v (M ) par la relation #» a (M ) = −α #» v (M ) avec α = 0,10 s
−1 . Déterminer sa vitesse et sa
position au cours du temps ainsi que la distance maximale parcourue.
Exercice 10.12 Guépard vs antilope
Le guépard est considéré comme l’animal terrestre le plus rapide au monde, sa vitesse pouvant atteindre 110 km · h
−1 . Nous envisageons ici une couse-poursuite avec une antilope, dans un contexte
très simplifié où les deux animaux se déplacent uniquement selon l’axe Ox (voir figure).
x
O
G
•
A
•
x G
x A
Le guépard est assimilé au point G d’abscisse x G et l’antilope au point A d’abscisse x A .
Le guépard, initialement au repos en O, s’élance à la date t = 0. Il fond vers sa proie avec
une accélération constante #» a G = a G
# »
u x , où a G = 10,0 m · s
−2 , jusqu’à atteindre sa vitesse limite
v GL = 30,0 m · s
−1 qu’il ne peut maintenir que pendant 10,0 s. Si alors il n’a pas rattrapé l’antilope,
il coupe son effort, épuisé, son festin se transformant en une longue sieste réparatrice.
L’antilope se trouve initialement au repos à l’abscisse x A (0) = D = 120 m. Elle s’enfuit à l’instant
t A0 = 1,00 s avec une accélération constante #» a A = a A
# »
u x , où a A = 11,0 m · s
−2 , jusqu’à atteindre
sa vitesse limite v AL = 22,0 m · s
−1 qu’elle peut maintenir ensuite très longtemps.
1. Déterminer les abscisses x G (t) et x A (t) à tout instant t.
2. Quelle est l’issue de la course-poursuite ?
partagelivrescpge.blogspot.com
Cinématique du point et du solide
1. Déterminer les vecteurs vitesse #» v (M ) et position
# »
AM du skieur à chaque instant au cours de
cette première phase.
2. À quel instant le skieur arrive-t-il en B ? Quelle vitesse possède-t-il alors ?
Entre B et C le mouvement de M est circulaire et l’angle θ permet de repérer sa position. La
vitesse angulaire ˙
θ dépend de θ selon la loi ˙
θ = ω 0
cos(α − θ) + β où ω 0 = 1,4 rad · s
−1 et β est
une constante.
3. Déterminer la constante β.
4. Exprimer les vecteurs vitesse et l’accélération de M en utilisant une base polaire adaptée.
Qualifier le mouvement de M .
5. Déterminer la vitesse du skieur en C.
Exercice 10.11 Freinage d’un objet par frottements
On considère un objet assimilé à un point matériel M susceptible de se déplacer selon l’axe Ox. À
t = 0 il se trouve en O et sa vitesse vaut #» v 0 = v 0
#» u x avec v 0 = 1,0 m · s
−1 .
x
O
M
•
•
1. L’objet subit une force de frottement solide de sorte que son accélération peut être supposée
constante et égale à #» a 0 = −a 0
# »
u x avec a 0 = 1,0 m · s
−2 , jusqu’à son arrêt. Déterminer sa vitesse
et sa position au cours du temps ainsi que la distance totale parcourue.
2. L’objet subit une force de frottement fluide de sorte que son accélération #» a (M ) est reliée à sa
vitesse #» v (M ) par la relation #» a (M ) = −α #» v (M ) avec α = 0,10 s
−1 . Déterminer sa vitesse et sa
position au cours du temps ainsi que la distance maximale parcourue.
Exercice 10.12 Guépard vs antilope
Le guépard est considéré comme l’animal terrestre le plus rapide au monde, sa vitesse pouvant atteindre 110 km · h
−1 . Nous envisageons ici une couse-poursuite avec une antilope, dans un contexte
très simplifié où les deux animaux se déplacent uniquement selon l’axe Ox (voir figure).
x
O
G
•
A
•
x G
x A
Le guépard est assimilé au point G d’abscisse x G et l’antilope au point A d’abscisse x A .
Le guépard, initialement au repos en O, s’élance à la date t = 0. Il fond vers sa proie avec
une accélération constante #» a G = a G
# »
u x , où a G = 10,0 m · s
−2 , jusqu’à atteindre sa vitesse limite
v GL = 30,0 m · s
−1 qu’il ne peut maintenir que pendant 10,0 s. Si alors il n’a pas rattrapé l’antilope,
il coupe son effort, épuisé, son festin se transformant en une longue sieste réparatrice.
L’antilope se trouve initialement au repos à l’abscisse x A (0) = D = 120 m. Elle s’enfuit à l’instant
t A0 = 1,00 s avec une accélération constante #» a A = a A
# »
u x , où a A = 11,0 m · s
−2 , jusqu’à atteindre
sa vitesse limite v AL = 22,0 m · s
−1 qu’elle peut maintenir ensuite très longtemps.
1. Déterminer les abscisses x G (t) et x A (t) à tout instant t.
2. Quelle est l’issue de la course-poursuite ?
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