Exercices 271
2. Exprimer les vecteurs
d #» u r
dθ
et
d #» u θ
dθ
dans la base ( #» u x , #» u y ). En déduire
d #» u r
dt
R
et
d #» u θ
dt
R
dans
cette même base.
3. Montrer que :
d #» u r
dt
R
= ˙
θ #» u θ et
d #» u θ
dt
R
= − ˙
θ #» u r .
4. Exprimer alors les vecteurs vitesse et accélération de M dans R dans la base #» u r , #» u θ .
Exercice 10.5 Le bateau-pirate
Méthode (10.4)
Le bateau-pirate (ou bateau à bascule) est une attraction
présente dans de nombreux parcs. Les passagers prennent
place dans une nacelle située à l’extrémité d’un pendule oscillant autour d’un axe horizontal Ox. La figure suivante
présente un modèle simple du dispositif. La nacelle est assimilée à un arc de cercle de rayon R = OA = 10 m et
d’angle au centre 2α = 60°. Le mouvement pendulaire est
tel que θ(t) = θ 0 cos(ω 0 t) avec θ 0 =
π
2
et T 0 =
2π
ω 0
= 4,0 s.
Le passager A (assimilé à un point) se trouve au milieu de
la nacelle tandis que le passager B s’installe à l’avant du
bateau comme indiqué sur le schéma.
•
Ox
θ(t)
•
•
B
A
α
1. Exprimer les positions angulaires θ A (t) et θ B (t) des points A et B. Comparer leurs vitesses
angulaires, leurs vecteurs vitesse et leurs vecteurs accélération.
2. Exprimer les vecteurs vitesse et accélération des deux passagers en fonction du temps. Calculer
leur vitesse maximale.
3. À votre avis, pourquoi le passager B ressent-il des sensations plus intenses que le passager A ?
Exercice 10.6 Accélération d’un skateboarder
Méthodes (10.4) (10.5)
Un skateboarder roule sur une piste constituée d’une partie centrale plate encadrée par deux
tremplins circulaires de rayon R = 5,0 m. Modélisé par un point matériel se déplaçant dans un
plan vertical toujours en contact avec la piste (les sauts ne sont pas envisagés), il est représenté sur
la figure ci-dessous à quatre dates successives correspondant aux positions (A), (B), (C) et (D).
R
R
•
α
#» a A
(A)
•
(B)
#» a B
•
(C)
#» a C
• #» a D
(D)
© Dunod. Toute reproduction non autorisée est un délit.
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2. Exprimer les vecteurs
d #» u r
dθ
et
d #» u θ
dθ
dans la base ( #» u x , #» u y ). En déduire
d #» u r
dt
R
et
d #» u θ
dt
R
dans
cette même base.
3. Montrer que :
d #» u r
dt
R
= ˙
θ #» u θ et
d #» u θ
dt
R
= − ˙
θ #» u r .
4. Exprimer alors les vecteurs vitesse et accélération de M dans R dans la base #» u r , #» u θ .
Exercice 10.5 Le bateau-pirate
Méthode (10.4)
Le bateau-pirate (ou bateau à bascule) est une attraction
présente dans de nombreux parcs. Les passagers prennent
place dans une nacelle située à l’extrémité d’un pendule oscillant autour d’un axe horizontal Ox. La figure suivante
présente un modèle simple du dispositif. La nacelle est assimilée à un arc de cercle de rayon R = OA = 10 m et
d’angle au centre 2α = 60°. Le mouvement pendulaire est
tel que θ(t) = θ 0 cos(ω 0 t) avec θ 0 =
π
2
et T 0 =
2π
ω 0
= 4,0 s.
Le passager A (assimilé à un point) se trouve au milieu de
la nacelle tandis que le passager B s’installe à l’avant du
bateau comme indiqué sur le schéma.
•
Ox
θ(t)
•
•
B
A
α
1. Exprimer les positions angulaires θ A (t) et θ B (t) des points A et B. Comparer leurs vitesses
angulaires, leurs vecteurs vitesse et leurs vecteurs accélération.
2. Exprimer les vecteurs vitesse et accélération des deux passagers en fonction du temps. Calculer
leur vitesse maximale.
3. À votre avis, pourquoi le passager B ressent-il des sensations plus intenses que le passager A ?
Exercice 10.6 Accélération d’un skateboarder
Méthodes (10.4) (10.5)
Un skateboarder roule sur une piste constituée d’une partie centrale plate encadrée par deux
tremplins circulaires de rayon R = 5,0 m. Modélisé par un point matériel se déplaçant dans un
plan vertical toujours en contact avec la piste (les sauts ne sont pas envisagés), il est représenté sur
la figure ci-dessous à quatre dates successives correspondant aux positions (A), (B), (C) et (D).
R
R
•
α
#» a A
(A)
•
(B)
#» a B
•
(C)
#» a C
• #» a D
(D)
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