270 Chapitre 10
Cinématique du point et du solide
1. Estimer la dérivée temporelle ˙
z de la cote z du point M . Le mouvement est-il accéléré suivant
Oz ? Proposer une expression de z(t) sachant que z = 0 à l’instant t = 0.
2. Nous nous intéressons à la rotation de M 0 autour du pilier central sachant que θ(0) = θ 0 = −30°
à l’instant t = 0.
a. Qualifier le mouvement de M 0 . Donner une valeur numérique de la vitesse angulaire ˙
θ.
b. Exprimer les vecteurs vitesse et l’accélération de M 0 par rapport à R. Calculer sa vitesse.
3. Quel est le lien entre ˙
z et ˙
θ ?
4. Exprimer, dans la base ( #» u r , #» u θ , #» u z ), les vecteurs vitesse et accélération de M par rapport à R.
Exercice 10.3 Tournez manège
Méthode (10.3)
Un forain se déplace sur son manège depuis la périphérie
vers son axe de rotation Oz. Le manège tourne autour
de l’axe Oz à la vitesse angulaire constante #»
ω 0 = ω 0
#» u z ,
avec ω 0 = 1,0 rad · s
−1 , dans le référentiel terrestre R
repéré par (O,x,y,z). La grande expérience du forain lui
permet de se déplacer selon un mouvement rectiligne
et uniforme de vitesse v 0 = 1,0 m · s
−1 par rapport au
manège. Nous étudions le mouvement du forain assimilé
à un point M dans le référentiel R en le repérant par
ses coordonnées polaires r et θ. À l’instant initial, nous
considérons que r(0) = R = 5,0 m et θ(0) = 0. Le forain
s’arrête lorsque r = R min = 0,50 m.
x
y
•
Oz
•
#» u r
#» u θ
M
θ(t)
r(t)
1. Déterminer les lois r(t) et θ(t).
2. Déterminer la vitesse et l’accélération de M à tout instant dans le référentiel R.
3. À quelle date sa vitesse dans R est-elle maximale ? Calculer cette vitesse maximale.
4. À quelle date son accélération dans R est-elle maximale ? Calculer cette accélération maximale.
Exercice 10.4 Une base polaire en Antarctique
Méthode (10.3)
Un manchot empereur, assimilé à un point matériel M , fait
des glissades sur une portion plane de banquise. Pour étudier
son mouvement dans le référentiel R de celle-ci, repéré par
(O, x, y, z), il peut être commode d’utiliser la base polaire
( #» u r , #» u θ ) dans laquelle le vecteur position se met sous la forme
# »
OM = r(t) #» u r . Cependant, cette base est mobile dans R. Nous
sommes donc amenés, pour exprimer les vecteurs vitesse et
accélération de M dans R, à dériver les vecteurs #» u r et #» u θ par
rapport au temps, dans R.
x
y
•
#» u r
#» u θ
•
M
Oz
θ(t)
r(t)
1. Exprimer les vecteurs #» u r et #» u θ dans la base ( #» u x , #» u y ).
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Cinématique du point et du solide
1. Estimer la dérivée temporelle ˙
z de la cote z du point M . Le mouvement est-il accéléré suivant
Oz ? Proposer une expression de z(t) sachant que z = 0 à l’instant t = 0.
2. Nous nous intéressons à la rotation de M 0 autour du pilier central sachant que θ(0) = θ 0 = −30°
à l’instant t = 0.
a. Qualifier le mouvement de M 0 . Donner une valeur numérique de la vitesse angulaire ˙
θ.
b. Exprimer les vecteurs vitesse et l’accélération de M 0 par rapport à R. Calculer sa vitesse.
3. Quel est le lien entre ˙
z et ˙
θ ?
4. Exprimer, dans la base ( #» u r , #» u θ , #» u z ), les vecteurs vitesse et accélération de M par rapport à R.
Exercice 10.3 Tournez manège
Méthode (10.3)
Un forain se déplace sur son manège depuis la périphérie
vers son axe de rotation Oz. Le manège tourne autour
de l’axe Oz à la vitesse angulaire constante #»
ω 0 = ω 0
#» u z ,
avec ω 0 = 1,0 rad · s
−1 , dans le référentiel terrestre R
repéré par (O,x,y,z). La grande expérience du forain lui
permet de se déplacer selon un mouvement rectiligne
et uniforme de vitesse v 0 = 1,0 m · s
−1 par rapport au
manège. Nous étudions le mouvement du forain assimilé
à un point M dans le référentiel R en le repérant par
ses coordonnées polaires r et θ. À l’instant initial, nous
considérons que r(0) = R = 5,0 m et θ(0) = 0. Le forain
s’arrête lorsque r = R min = 0,50 m.
x
y
•
Oz
•
#» u r
#» u θ
M
θ(t)
r(t)
1. Déterminer les lois r(t) et θ(t).
2. Déterminer la vitesse et l’accélération de M à tout instant dans le référentiel R.
3. À quelle date sa vitesse dans R est-elle maximale ? Calculer cette vitesse maximale.
4. À quelle date son accélération dans R est-elle maximale ? Calculer cette accélération maximale.
Exercice 10.4 Une base polaire en Antarctique
Méthode (10.3)
Un manchot empereur, assimilé à un point matériel M , fait
des glissades sur une portion plane de banquise. Pour étudier
son mouvement dans le référentiel R de celle-ci, repéré par
(O, x, y, z), il peut être commode d’utiliser la base polaire
( #» u r , #» u θ ) dans laquelle le vecteur position se met sous la forme
# »
OM = r(t) #» u r . Cependant, cette base est mobile dans R. Nous
sommes donc amenés, pour exprimer les vecteurs vitesse et
accélération de M dans R, à dériver les vecteurs #» u r et #» u θ par
rapport au temps, dans R.
x
y
•
#» u r
#» u θ
•
M
Oz
θ(t)
r(t)
1. Exprimer les vecteurs #» u r et #» u θ dans la base ( #» u x , #» u y ).
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