L’essentiel du cours 25
Un signal s(t) périodique de période T , de fréquence f = 1/T , peut s’écrire comme une somme
de signaux sinusoïdaux de fréquences multiples de f , soit nf , constituant sa décomposition
en série de Fourier :
s(t) = s 0 +
+∞
n=1
[A n cos(2πnf t) + B n sin(2πnf t)] = s 0 +
+∞
n=1
C n cos (2πnf t + φ n )
où n ∈ N
∗ , C n ∈ R
+ , φ n ∈] − π, +π] et (A n , B n ) ∈ R
2 .
Définition : Décomposition en série de Fourier d’un signal périodique
Le théorème de Fourier donne les moyens de calculer les coefficient A n , B n et C n :
A n =
2
T
T
0
s(t) cos(2πnf t)dt
B n =
2
T
T
0
s(t) sin(2πnf t)dt
C n =
A 2
n + B 2
n
Ces expressions ne sont toutefois pas au programme.
Quelques éléments de vocabulaire :
• s 0 est la valeur moyenne du signal : s 0 = s(t) =
1
T
T
0
s M (t)dt.
• C n cos (2πnf t + φ n ) est son harmonique de rang n, un signal sinusoïdal dont la fréquence
est un multiple entier de la fréquence f .
• L’harmonique de rang n = 1 porte le nom de fondamental.
• f n = nf , C n et φ n sont respectivement la fréquence, l’amplitude et la phase à l’origine de
l’harmonique de rang n.
À titre d’exemple, intéressons-nous à une même note de musique, un Do 3 , jouée par deux instruments différents, un piano et une guitare. À l’aide d’une carte d’acquisition et d’un ordinateur nous
avons mémorisé la tension u(t) prélevée aux bornes du microphone utilisé pour les enregistrements.
Puis nous avons réalisé une analyse spectrale de ces signaux avec Python. Les résultats sont donnés
ci-dessous :
0
5
10
15
20
t (ms)
−0.8
−0.6
−0.4
−0.2
0.0
0.2
0.4
0.6
u
Piano Do 3
Figure 2.3. Évolution temporelle.
0
500
1000
1500
2000
2500
3000
3500
4000
f (Hz)
0.00
0.05
0.10
0.15
0.20
˜
U
Piano Do 3
Figure 2.4. Spectre en amplitude.
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