264 Chapitre 10
Cinématique du point et du solide
y et z. Un déplacement élémentaire quelconque a alors pour expression
#»
dl = dx #» u x + dy #» u y + dz #» u z .
Déplacement élémentaire en coordonnées cylindriques :
Les déplacements élémentaires engendrés par les variations des différentes coordonnées cylindriques
sont présentés dans le tableau suivant :
Paramètre
Déplacement élémentaire engendré
Vecteur
Nom Var.
Nature
Longueur Direction dépl. élém.
r
dr
Segment de droite
dr
#» u r
dr #» u r
θ
dθ
Arc de cercle de centre H,
rdθ
#» u θ
rdθ #» u θ
de rayon r, d’angle au centre dθ
z
dz
Segment de droite
dz
#» u z
dz #» u z
Déplacement élémentaire en coordonnées sphériques :
Les déplacements élémentaires engendrés par les variations des différentes coordonnées sphériques
sont présentés dans le tableau suivant :
Paramètre
Déplacement élémentaire engendré
Vecteur
Nom Var.
Nature
Longueur Direction
dépl. élém.
r
dr
Segment de droite
dr
#» u r
dr #» u r
θ
dθ
Arc de cercle de centre O,
rdθ
#» u θ
rdθ #» u θ
de rayon r, d’angle au centre dθ
ϕ
dϕ
Arc de cercle de centre H,
r sin(θ)dϕ
#» u ϕ
r sin(θ)dϕ #» u ϕ
de rayon r sin(θ), d’angle au centre dϕ
Le vecteur déplacement élémentaire peut s’exprimer dans les trois systèmes de coordonnées.
• En coordonnées cartésiennes :
#»
dl = d
# »
OM = dx #» u x + dy #» u y + dz #» u z .
• En coordonnées cylindriques :
#»
dl = d
# »
OM = dr #» u r + rdθ #» u θ + dz #» u z .
• En coordonnées sphériques :
#»
dl = d
# »
OM = dr #» u r + rdθ #» u θ + r sin (θ) dϕ #» u ϕ .
Définition : Vecteur déplacement élémentaire
Comment en déduire l’expression du vecteur vitesse #» v (M ) dans le référentiel
d’étude R auquel on associe le repère (O, #» u x , #» u y , #» u z ) ?
Il suffit pour cela de reprendre la définition du vecteur vitesse : #» v =
d
# »
OM
dt
R
et d’utiliser les
expressions précédentes du vecteur déplacement élémentaire.
• En coordonnées cartésiennes : #» v =
dx
dt
#» u x +
dy
dt
#» u y +
dz
dt
#» u z = ˙
x #» u x + ˙
y #» u y + ˙
z #» u z .
• Coordonnées cylindriques : #» v =
dr
dt
#» u r + r
dθ
dt
#» u θ +
dz
dt
#» u z = ˙
r #» u r + r ˙
θ #» u θ + ˙
z #» u z .
• Coordonnées sphériques : #» v =
dr
dt
#» u r +r
dθ
dt
#» u θ +r sin(θ)
dϕ
dt
#» u ϕ = ˙
r #» u r +r ˙
θ #» u θ +r sin(θ) ˙
ϕ #» u ϕ .
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Cinématique du point et du solide
y et z. Un déplacement élémentaire quelconque a alors pour expression
#»
dl = dx #» u x + dy #» u y + dz #» u z .
Déplacement élémentaire en coordonnées cylindriques :
Les déplacements élémentaires engendrés par les variations des différentes coordonnées cylindriques
sont présentés dans le tableau suivant :
Paramètre
Déplacement élémentaire engendré
Vecteur
Nom Var.
Nature
Longueur Direction dépl. élém.
r
dr
Segment de droite
dr
#» u r
dr #» u r
θ
dθ
Arc de cercle de centre H,
rdθ
#» u θ
rdθ #» u θ
de rayon r, d’angle au centre dθ
z
dz
Segment de droite
dz
#» u z
dz #» u z
Déplacement élémentaire en coordonnées sphériques :
Les déplacements élémentaires engendrés par les variations des différentes coordonnées sphériques
sont présentés dans le tableau suivant :
Paramètre
Déplacement élémentaire engendré
Vecteur
Nom Var.
Nature
Longueur Direction
dépl. élém.
r
dr
Segment de droite
dr
#» u r
dr #» u r
θ
dθ
Arc de cercle de centre O,
rdθ
#» u θ
rdθ #» u θ
de rayon r, d’angle au centre dθ
ϕ
dϕ
Arc de cercle de centre H,
r sin(θ)dϕ
#» u ϕ
r sin(θ)dϕ #» u ϕ
de rayon r sin(θ), d’angle au centre dϕ
Le vecteur déplacement élémentaire peut s’exprimer dans les trois systèmes de coordonnées.
• En coordonnées cartésiennes :
#»
dl = d
# »
OM = dx #» u x + dy #» u y + dz #» u z .
• En coordonnées cylindriques :
#»
dl = d
# »
OM = dr #» u r + rdθ #» u θ + dz #» u z .
• En coordonnées sphériques :
#»
dl = d
# »
OM = dr #» u r + rdθ #» u θ + r sin (θ) dϕ #» u ϕ .
Définition : Vecteur déplacement élémentaire
Comment en déduire l’expression du vecteur vitesse #» v (M ) dans le référentiel
d’étude R auquel on associe le repère (O, #» u x , #» u y , #» u z ) ?
Il suffit pour cela de reprendre la définition du vecteur vitesse : #» v =
d
# »
OM
dt
R
et d’utiliser les
expressions précédentes du vecteur déplacement élémentaire.
• En coordonnées cartésiennes : #» v =
dx
dt
#» u x +
dy
dt
#» u y +
dz
dt
#» u z = ˙
x #» u x + ˙
y #» u y + ˙
z #» u z .
• Coordonnées cylindriques : #» v =
dr
dt
#» u r + r
dθ
dt
#» u θ +
dz
dt
#» u z = ˙
r #» u r + r ˙
θ #» u θ + ˙
z #» u z .
• Coordonnées sphériques : #» v =
dr
dt
#» u r +r
dθ
dt
#» u θ +r sin(θ)
dϕ
dt
#» u ϕ = ˙
r #» u r +r ˙
θ #» u θ +r sin(θ) ˙
ϕ #» u ϕ .
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