L’essentiel du cours 263
Les coordonnées sphériques (r,θ,ϕ) du point M sont définies par :
• r =
# »
OM : distance de M à O (r ∈ R
+ ) ;
• θ = ( #» u z ,
# »
OM ) : angle orienté de #» u z vers
# »
OM tel que θ ∈ [0; π] ;
• ϕ = ( #» u x ,
# »
OM
) : angle orienté de #» u x vers
# »
OM
tel que ϕ ∈ [0; 2π[.
Définition : Coordonnées sphériques
La base sphérique orthonormée directe ( #» u r , #» u θ , #» u ϕ ), liée au point M , est définie par :
• #» u r =
# »
OM
# »
OM
: vecteur unitaire dirigé de O vers M ;
• #» u θ : vecteur unitaire du plan (OHM ), perpendiculaire au vecteur #» u r et orienté vers
les θ croissants ;
• #» u ϕ : vecteur unitaire du plan (Oxy), perpendiculaire à OM
et orienté vers les ϕ
croissants.
Définition : Base sphérique
Comment s’exprime le vecteur position dans ces deux systèmes de coordonnées ?
Dans la base cylindrique, la relation de Chasles nous donne :
# »
OM =
# »
OH +
# »
HM = r #» u r + z #» u z .
Dans la base sphérique, nous avons directement :
# »
OM = r #» u r .
Les bases cylindriques ( #» u r , #» u θ , #» u z ) et sphériques ( #» u r , #» u θ , #» u ϕ ) sont des bases orthonormées directes. Les vecteurs de base doivent donc vérifier la règle des trois
doigts de la main droite (voir encadré « La règle de la main droite » en fin du
chapitre 13).
5 Vecteur déplacement élémentaire
Lorsqu’un point se déplace, entre t et t + Δt, de la position M (t) à la position M (t + Δt), son
vecteur déplacement
#
»
M (t)M (t + Δt) se définit comme la variation Δ
# »
OM =
# »
OM (t + Δt) −
# »
OM (t)
de son vecteur position. Si les deux dates sont suffisamment voisines pour pouvoir être considérées
comme infiniment voisines, alors on assimile au premier ordre la variation Δt à la différentielle
dt et la variation Δ
# »
OM à la différentielle d
# »
OM . Ce vecteur d
# »
OM , souvent noté
#»
dl, est appelé
vecteur déplacement élémentaire du point M.
Comment s’exprime le vecteur déplacement élémentaire dans les différents systèmes de coordonnées ?
Pour engendrer un vecteur déplacement élémentaire dans un système de coordonnées (x 1 , x 2 , x 3 )
on fait varier chaque coordonnée x i d’une quantité élémentaire dx i , engendrant ainsi un déplacement élémentaire dl i
#» u i de longueur dl i dans la direction du vecteur unitaire #» u i . Le déplacement
élémentaire résultant est la somme des déplacements élémentaires selon chaque vecteur de la base.
Déplacement élémentaire en coordonnées cartésiennes :
Une variation élémentaire dx de x engendre un segment de droite de longueur dx selon #» u x correspondant à un déplacement élémentaire dx #» u x . Il en est de même pour les deux autres coordonnées
© Dunod. Toute reproduction non autorisée est un délit.
partagelivrescpge.blogspot.com
Les coordonnées sphériques (r,θ,ϕ) du point M sont définies par :
• r =
# »
OM : distance de M à O (r ∈ R
+ ) ;
• θ = ( #» u z ,
# »
OM ) : angle orienté de #» u z vers
# »
OM tel que θ ∈ [0; π] ;
• ϕ = ( #» u x ,
# »
OM
) : angle orienté de #» u x vers
# »
OM
tel que ϕ ∈ [0; 2π[.
Définition : Coordonnées sphériques
La base sphérique orthonormée directe ( #» u r , #» u θ , #» u ϕ ), liée au point M , est définie par :
• #» u r =
# »
OM
# »
OM
: vecteur unitaire dirigé de O vers M ;
• #» u θ : vecteur unitaire du plan (OHM ), perpendiculaire au vecteur #» u r et orienté vers
les θ croissants ;
• #» u ϕ : vecteur unitaire du plan (Oxy), perpendiculaire à OM
et orienté vers les ϕ
croissants.
Définition : Base sphérique
Comment s’exprime le vecteur position dans ces deux systèmes de coordonnées ?
Dans la base cylindrique, la relation de Chasles nous donne :
# »
OM =
# »
OH +
# »
HM = r #» u r + z #» u z .
Dans la base sphérique, nous avons directement :
# »
OM = r #» u r .
Les bases cylindriques ( #» u r , #» u θ , #» u z ) et sphériques ( #» u r , #» u θ , #» u ϕ ) sont des bases orthonormées directes. Les vecteurs de base doivent donc vérifier la règle des trois
doigts de la main droite (voir encadré « La règle de la main droite » en fin du
chapitre 13).
5 Vecteur déplacement élémentaire
Lorsqu’un point se déplace, entre t et t + Δt, de la position M (t) à la position M (t + Δt), son
vecteur déplacement
#
»
M (t)M (t + Δt) se définit comme la variation Δ
# »
OM =
# »
OM (t + Δt) −
# »
OM (t)
de son vecteur position. Si les deux dates sont suffisamment voisines pour pouvoir être considérées
comme infiniment voisines, alors on assimile au premier ordre la variation Δt à la différentielle
dt et la variation Δ
# »
OM à la différentielle d
# »
OM . Ce vecteur d
# »
OM , souvent noté
#»
dl, est appelé
vecteur déplacement élémentaire du point M.
Comment s’exprime le vecteur déplacement élémentaire dans les différents systèmes de coordonnées ?
Pour engendrer un vecteur déplacement élémentaire dans un système de coordonnées (x 1 , x 2 , x 3 )
on fait varier chaque coordonnée x i d’une quantité élémentaire dx i , engendrant ainsi un déplacement élémentaire dl i
#» u i de longueur dl i dans la direction du vecteur unitaire #» u i . Le déplacement
élémentaire résultant est la somme des déplacements élémentaires selon chaque vecteur de la base.
Déplacement élémentaire en coordonnées cartésiennes :
Une variation élémentaire dx de x engendre un segment de droite de longueur dx selon #» u x correspondant à un déplacement élémentaire dx #» u x . Il en est de même pour les deux autres coordonnées
© Dunod. Toute reproduction non autorisée est un délit.
partagelivrescpge.blogspot.com