262 Chapitre 10
Cinématique du point et du solide
4 Paramétrage d’un mouvement à 3 dimensions
Lorsque le mouvement d’un point ne se fait pas dans un plan, il devient nécessaire de repérer sa
position dans l’espace. En dehors des coordonnées cartésiennes (x, y, z), il est possible d’utiliser les
coordonnées cylindriques (r,θ,z) ou les coordonnées sphériques (r,θ,ϕ) définies ci-dessous. Le choix
du repérage se fait en fonction de la symétrie du problème.
#» u z
#» u z
O
y
z
x
M
H
•
•
r
M
θ
z
#» u r
#» u θ
Figure 10.15. Coordonnées cylindriques.
θ
ϕ
#» u ϕ
O
y
z
x
H
M
M
r s in θ
•
•
r
#» u r
#» u θ
Figure 10.16. Coordonnées sphériques.
Les points H et M
sont les projetés orthogonaux du point M sur l’axe (Oz) et sur le plan (Oxy).
Les coordonnées cylindriques (r,θ,z) du point M sont définies par :
• r =
# »
HM =
# »
OM
: distance de M à l’axe (Oz) (r ∈ R
+ ) ;
• θ = ( #» u x ,
# »
OM
) : angle orienté de #» u x vers
# »
OM
tel que θ ∈ [0; 2π[ ;
• z =
# »
OH · #» u z (z ∈ R).
Définition : Coordonnées cylindriques
La base cylindrique orthonormée directe ( #» u r , #» u θ , #» u z ), liée au point M , est définie par :
• #» u r =
# »
HM
# »
HM
=
# »
OM
# »
OM
: vecteur unitaire dirigé de H vers M ou de O vers M
;
• #» u θ : vecteur unitaire perpendiculaire au vecteur #» u r dans le plan (Oxy) et orienté vers
les θ croissants ;
• #» u z : vecteur unitaire de la base cartésienne formant une base directe avec #» u r et #» u θ .
Définition : Base cylindrique
Les coordonnées polaires constituent un cas particulier des coordonnées cylindriques
lorsque le mouvement de M se fait dans un plan z = cste parallèle au plan (Oxy).
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